Operacje z wektorami

Za pomocą wektorów możemy wykonywać podstawowe operacje, takie jak dodawanie czy mnożenie.

Dodawanie wektorów

Jeśli chcemy dodać dwa wektory, wyświetlamy je w punkcie początkowym układu współrzędnych, a następnie dodajemy je do rombu, a przekątna zaczynająca się w punkcie początkowym będzie wektorem wynikowym. Oczywiście przygotowany jest obrazek ilustrujący:

Analitycznie, suma wektorów jest wtedy sumą odpowiadających im współrzędnych. Jeśli więc mamy dwa wektory $\vec{\mathbf{u}}=(u_1, u_2)$ i $\vec{\mathbf{v}}=(v_1, v_2)$, to suma $\vec{\mathbf{u}}+\vec{\mathbf{v}}$ jest równa

$$\vec{\mathbf{u}}+\vec{\mathbf{v}}=(u_1+v_1, u_2+v_2)$$

Dla wektorów na rysunku: $\vec{\mathbf{u}}=(2, 4)$ i $\vec{\mathbf{v}}=(4, 1)$. Suma wygląda następująco: $\vec{\mathbf{u}}+\vec{\mathbf{v}}=(2+4, 4+1)=(6, 5)$ Współrzędne te odpowiadają punktowi D.

Jeśli odejmujesz wektory, jest to to samo, co w przypadku dodawania wektora przeciwnego. Analitycznie:

$$\vec{\mathbf{u}}-\vec{\mathbf{v}}=(u_1-v_1, u_2-v_2)$$

Jeśli dodajesz wektory, które leżą na tej samej prostej i w tym samym kierunku, to po prostu rozciągasz wynikowy wektor. Jeśli są w przeciwnych kierunkach, to odejmujemy ich wielkości. Łatwiej będzie to zobaczyć na rysunku:

Dodawanie wektorów jest komutatywne i asocjatywne. Istnieje wektor $\vec{\mathbf{0}}$, który nazywamy wektorem zerowym, dla którego zachodzi $\vec{\mathbf{u}}+\vec{\mathbf{0}}=\vec{\mathbf{u}}$, podobnie jak dla liczb. Dla każdego wektora $\vec{\mathbf{u}}$ istnieje wektor przeciwny $-\vec{\mathbf{u}}$, dla którego zachodzi $\vec{\mathbf{u}}+(-\vec{\mathbf{u}})=\vec{\mathbf{0}}$.

Mnożenie wektora przez liczbę

Mnożąc wektor przez liczbę rzeczywistą k, mnożymy obie jego współrzędne przez k. W interpretacji geometrycznej spowoduje to "rozciągnięcie" lub "skurczenie" wektora lub odwrócenie go, jeśli k jest ujemna.

Rysunek pokazuje, że gdy pomnożymy wektor u przez k, otrzymamy:

• Jeśli wartość bezwzględna k jest mniejsza niż jeden, to wektor jest mniejszy.
• Jeśli wartość bezwzględna k jest większa niż jeden, to wektor jest większy.
• Jeśli k jest ujemna, to wektor ma przeciwny kierunek.

Kombinacja liniowa wektorów

W algebrze liniowej często używamy kombinacji liniowych wektorów. Jeśli mamy wektory $\vec{\mathbf{u}}_1, \vec{\mathbf{u}}_2, \vec{\mathbf{u}}_3, \ldots$, to kombinacja liniowa tych wektorów jest

• k wielokrotnością jednego z wektorów $\vec{\mathbf{u}}_n$,
• suma dowolnych dwóch lub więcej wektorów,
• kombinacja poprzednich - możemy dodać k_n wielokrotności dowolnych $\vec{\mathbf{u}}_n$ wektorów.

Jeśli mamy wektory $\vec{\mathbf{u}}_1, \vec{\mathbf{u}}_2, \ldots, \vec{\mathbf{u}}_n$, to wektor $\vec{\mathbf{v}}$ jest kombinacją liniową wektorów $\vec{\mathbf{u}}_n$, jeśli:

$$\vec{\mathbf{v}}=c_1\cdot \vec{\mathbf{u}}_1+c_2\cdot \vec{\mathbf{u}}_2+\ldots+c_n\cdot \vec{\mathbf{u}}_n;\quad c_i\in\mathbb{R}$$

Zauważ, że współczynniki c_i są liczbami rzeczywistymi, więc możemy wybrać dla nich zero, co spowoduje, że jeden z wektorów całkowicie odpadnie. Przykład: mamy wektory $\vec{\mathbf{u}}_1=(1,3), \vec{\mathbf{u}}_2=(0,4), \vec{\mathbf{u}}_3=(7,2)$. Są to niektóre możliwe kombinacje liniowe:

$$\begin{eqnarray} (8, 9)&=&1\cdot(1, 3)+1\cdot(0, 4)+1\cdot(7, 2)\\ (22, 17)&=&1\cdot(1, 3)+2(0, 4)+3(7, 2)\\ (68, 38)&=&-2(1, 3)+6(0, 4)+10(7, 2)\\ (-\frac12, -\frac{43}{2})&=&-\frac12(1, 3)-5(0, 4)+0(7, 2)\\ \end{eqnarray}$$