Progresja funkcji: ekstrema

Ekstrema funkcji to punkty, w których funkcja przyjmuje wartości maksymalne lub minimalne.

Ekstrema funkcji

Istnieją dwa podstawowe typy ekstremów - minimum i maksimum. Rozróżniamy również globalne maksimum/minimum i lokalne maksimum/minimum. Maksimum globalne to punkt, w którym funkcja ma największą wartość spośród wszystkich punktów w dziedzinie definicji. Jeśli ta wartość jest jedyną, mówimy, że jest to ostre maksimum. Funkcja może mieć maksymalną wartość w więcej niż jednym punkcie, tak jak na przykład dwóch różnych pracowników może pobierać maksymalną pensję w wysokości pół miliona koron miesięcznie. Definicje minimów i maksimów zostały podane w artykule na temat funkcji.

Lokalne minimum jest wtedy zdefiniowane tylko w części definiującej dziedziny funkcji, zazwyczaj w pewnym przedziale. Definicje lokalnego maksimum i minimum:

• Funkcja f ma lokalne maksimum w punkcie M ∈ D(f), jeśli istnieje pewne sąsiedztwo U = (M−ε, M+ε), gdzie ε > 0 takie, że f(x)≤ f(M) zachodzi dla wszystkich x∈ U∩ D(f).
• Funkcja f ma minimum lokalne w punkcie m ∈ D(f), jeśli istnieje pewne sąsiedztwo U = (m−ε, m+ε), gdzie ε > 0 takie, że f(x)≥ f(m) zachodzi dla wszystkich x∈ U ∩ D(f).

Przykładem funkcji, która ma nieskończenie wiele ekstremów jest funkcja f(x) = x · sin x:

A dlaczego w definicji jest "dla wszystkich x∈ U∩ D(f)", a teraz dlaczego jest to przecięcie z regionem definiującym? Na przykład dlatego, że funkcja przedstawiona na tym wykresie...

minimum w punkcie m = 1, ale w żadnym lewym sąsiedztwie punktu m = 1 funkcja nie jest określona, więc nie zachowałaby się w tym lewym sąsiedztwie, które f(x)≥ f(m). Jeśli nadal wykonamy przecięcie z zakresem definiującym, otrzymamy tylko prawe sąsiedztwo.

Podstawowa zasada znajdowania ekstremów

Wróćmy teraz do wykresu funkcji f(x) = x² + 1 wraz z jej trzema stycznymi:

Skupmy się najpierw na stycznej c. Widzimy, że styczna dotyka wykresu w minimum funkcji x² + 1 i jest pozioma, tj. równoległa do osi x. W ten sposób "ściska" kąt 180 stopni z dodatnią półosią x. Co by się stało, gdybyśmy odwrócili funkcję i zamiast minimum funkcja miała maksimum? Wykres funkcji −x² + 1:

Zauważ, że styczna c, która przechodzi przez maksimum funkcji −x² + 1, jest ponownie równoległa do osi x. To daje nam prawidłowość: jeśli szukamy minimum lub maksimum funkcji, szukamy stycznej, która jest równoległa do osi x, która ma tangens kąta, jaki tworzy z osią x, równy zero. Z poprzedniego rysunku widzimy, że $tan(180^{\circ})=0$. Zatem w kontekście pochodnych szukamy punktu, dla którego jego pochodna wynosi zero: $f^{\prime}(x)=0$.

Obliczmy ekstremum dla naszej ulubionej funkcji f(x) = x² + 1 za pomocą pochodnej. Pochodną funkcji f jest $f^{\prime}(x)=2x$. Następnie szukamy, kiedy pierwsza pochodna jest równa zero, tj. rozwiązujemy równanie $f^{\prime}(x)=0$; po wstawieniu 2x = 0. Jest to trywialne dla x = 0. Widzimy, że zgadza się to z faktem, że funkcja f(x) = x² + 1 ma globalne minimum w punkcie x = 0.

Wyjątki od "reguły"

Chciałoby się powiedzieć, że funkcja ma ekstremum w punkcie x właśnie wtedy, gdy pochodna jest równa zero w tym punkcie. Niestety nie jest to prawdą, nie jest to takie proste. Przyjrzyjmy się poniższym przykładom:

• Spróbujmy znaleźć ekstrema funkcji f(x) = x³. Pierwszą pochodną tej funkcji jest $f^{\prime}(x)=3x^2$. Rozwiążmy równanie $f^{\prime}(x)=0$, czyli 3x² = 0. Jest to oczywiście prawdą dla x = 0. Ale czy funkcja x³ ma ekstremum w punkcie x = 0? Spójrzmy na wykres:

  

  Widzimy, że w punkcie x = 0 nie ma ekstremum funkcji. Ani globalne, ani lokalne. Dlaczego więc pochodna w tym punkcie wynosi zero? Ponieważ w tym punkcie styczna t jest po prostu równoległa do osi x, patrz poniższy rysunek:

  

• A co z taką ładną funkcją f(x) = |x|, czyli wartością bezwzględną z x? Z wykresu widać, że ma ona globalne minimum w punkcie x = 0:

  

  Tylko ta funkcja nie ma pochodnej w punkcie x = 0! W punkcie x = 0 funkcja nie ma stycznej, ponieważ trudno powiedzieć, jak może wyglądać styczna.

Prawdą jest, że:

• Jeśli funkcja f ma ekstremum, tj. minimum lub maksimum, w punkcie x i jeśli w tym punkcie istnieje pochodna (!), to ta pochodna wynosi zero. Może się zdarzyć, że funkcja ma ekstremum w punkcie x, a także, że funkcja nie ma pochodnej w tym punkcie.

• Jeśli funkcja f ma zerową pochodną w punkcie x, to w tym punkcie może, ale nie musi, znajdować się ekstremum.

Jak znaleźć ekstrema funkcji

Zakładamy, że jako dane wejściowe mamy funkcję f, która jest pochodną w całej swojej zdefiniowanej dziedzinie. W pierwszym kroku wyprowadzamy więc funkcję f, otrzymując funkcję $f^{\prime}$. Następnie ustawiamy pierwszą pochodną równą zero, czyli rozwiązujemy równanie $f^{\prime}(x) = 0$. Rozwiązania tego równania są punktami, które są "podejrzewane" o bycie ekstremalnymi lub punktami stacjonarnymi.

Następnie musimy określić, które z tych punktów stacjonarnych są ekstremalne. Możemy to sprawdzić na przykład na podstawie drugiej pochodnej funkcji f. Jeśli s jest punktem stacjonarnym, tzn. jeśli $f^{\prime}(s)=0$ jest równe zero, to jeśli $f^{\prime\prime}(s) > 0$, to minimum jest w s, a jeśli $f^{\prime\prime} < 0$, to maksimum jest w s.

Jeśli druga pochodna również wynosi zero w tym punkcie, musimy kontynuować wyprowadzanie, o czym więcej później. Teraz przykład. Rozważmy funkcję f(x) = 3x² + 6x. Znajdź jej ekstrema.

Oblicz pierwszą pochodną: $f^{\prime}(x)=6x+6$. Ustawmy pierwszą pochodną równą zero:

\begin{eqnarray} 6x+6&=&0\\x+1&=&0\x&=&-1 \end{eqnarray}

Tak więc istnieje punkt stacjonarny w x = −1; punkt podejrzewany o bycie ekstremum. Obliczamy drugą pochodną. Jest ona równa funkcji $f^{\prime\prime}(x)=0x+6$. Po wstawieniu punktu x = −1 otrzymujemy $f^{\prime\prime}(-1)=6$. Wynik jest dodatni; funkcja ma minimum w tym punkcie. Wykres:

Co jeśli druga pochodna również wynosi zero?

Spróbujmy znaleźć ekstremum funkcji f(x) = x⁴, wykres:

Pierwszą pochodną tej funkcji jest $f^{\prime}(x)=4x^3$. Rozwiązaniem równania $f^{\prime}(x)=0$ jest oczywiście pojedynczy punkt stacjonarny s = 0. Obliczamy drugą pochodną, która jest równa $f^{\prime\prime}(x)=12x^2$. Wstawiamy punkt stacjonarny s do tej drugiej pochodnej, aby otrzymać zero.

$$f^{\prime\prime}(0)=12\cdot0^2=0.$$

Otrzymaliśmy zero, co z tego, co powiedzieliśmy do tej pory, oznaczałoby, że w tym punkcie nie ma ekstremum. Widzimy jednak, że w punkcie znajduje się ekstremum. Jeśli taka sytuacja ma miejsce, przeprowadzamy dalsze wnioskowanie. Znajdujemy trzecią pochodną i dodajemy punkt stacjonarny s. Jeśli wyjdzie niezerowa liczba, w punkcie s znajduje się tak zwany punkt przegięcia (więcej na ten temat później). Jeśli wyjdzie liczba zerowa, wyprowadzamy kolejne pochodne. W przypadku czwartej pochodnej podejmujemy taką samą decyzję jak w przypadku drugiej - podłączamy punkt stacjonarny, a dodatnia wartość funkcji oznacza minimum, ujemna oznacza maksimum.

Trzecia pochodna jest równa $f^{\prime\prime\prime}(x)=24x$, po wykropkowaniu mamy $f^{\prime\prime\prime}(0) = 0$, więc wyprowadzamy dalej. Czwarta pochodna ma postać $f^{\prime\prime\prime\prime}(x)=24$. Widzimy, że czwarta pochodna jest już zawsze dodatnia, z czego możemy wywnioskować - podobnie jak w przypadku drugiej pochodnej - że funkcja ma minimum w punkcie s = 0. I tak jest.

Podsumowanie procedury znajdowania ekstremów funkcji

1. Otrzymujemy funkcję f, która jest pochodną.

2. Wyprowadzamy funkcję f.

3. Rozwiązujemy równanie $f^{\prime}(x)=0$. Nazywamy wszystkie s, które są rozwiązaniami równania, punktami stacjonarnymi lub punktami podejrzewanymi o bycie ekstremami.

4. Obliczamy drugą pochodną.

5. Obliczamy wartość funkcji dla wszystkich punktów stacjonarnych s. Jeśli $f^{\prime\prime}(s) > 0$, to funkcja ma minimum w s, a jeśli $f^{\prime\prime}(s) < 0$, to ma maksimum w s. Jeśli $f^{\prime\prime}(s)=0$, to wyprowadzamy dalsze zależności.

   Wskazówka: jeśli nie chcesz pamiętać, czy druga pochodna musi być dodatnia czy ujemna, aby w danym punkcie było maksimum lub minimum, po prostu odwołaj się do funkcji x². Powinieneś znać wykres tej funkcji, a pierwsza i druga pochodna są proste: $f^{\prime}(x)=2x$ i $f^{\prime\prime}(x)=2$. Zatem druga pochodna jest zawsze dodatnia, a funkcja x² ma minimum w punkcie x = 0.

6. Oblicz trzecią pochodną. Jeśli wynosi ona $f^{\prime\prime\prime}(s)\ne0$, to w punkcie s znajduje się punkt przegięcia, w przeciwnym razie kontynuujemy pochodną.

7. Oblicz czwartą pochodną. Jeśli $f^{\prime\prime\prime\prime}(s)\ne0$, to w punkcie znajduje się ekstremum. W przeciwnym razie kontynuujemy pochodną.

8. I tak dalej, i tak dalej. Jeśli pierwsza niezerowa pochodna jest pochodną nieparzystą, jest to punkt przegięcia. Jeśli niezerowa pochodna jest pochodną parzystą, jest to ekstremum.