Parametryczne równania liniowe

Równanie liniowe może zawierać parametr, który zwykle oznaczamy przez p. Naszym celem jest omówienie, jakie rozwiązanie ma równanie liniowe w zależności od parametru p.

Motywacja

Spróbuj rozwiązać następujący problem: Napisałeś powieść "Jak Rumcajs i Królewna Śnieżka wypędzili Dziadka do Orzechów z lasu" i chcesz ją wydrukować jako książkę, aby podarować ją przyjacielowi. Masz do dyspozycji 10 000 CZK. Cena jest następująca. Twoja powieść ma 300 stron. Na zakup ilu książek możesz sobie pozwolić?

Jest to proste równanie liniowe. Ułożymy równanie w następujący sposób: niewiadoma x będzie reprezentować liczbę książek, które możemy kupić. Otrzymamy więc równanie: (100 + 300)x = 10 000 Wyrażenie w nawiasie reprezentuje cenę jednej książki (100 to podstawa, 300 to cena za stronę). Rozwiązujemy równanie:

$$\begin{eqnarray} (100+300)x&=&10 000\\ 400x&=&10 000\\ x&=&\frac{10 000}{400}\\ x&=&25 \end{eqnarray}$$

Możemy sobie pozwolić na zakup 25 książek. Cena za stronę jest jednak zbyt wysoka, więc zmniejszamy ją do 0,8. Ile książek możemy teraz kupić? Ustawmy równanie ponownie: (100 + 300 · 0,8)x = 10 000 i rozwiążmy:

$$\begin{eqnarray} (100+300\cdot0{,}8)x&=&10 000\\ (100+240)x&=&10 000\\ 340x&=&10 000\\ x&=&\frac{10 000}{340}\\ x&\thickapprox&29 \end{eqnarray}$$

Możemy kupić 29 książek. W rzeczywistości, przy tak stosunkowo dużej liczbie stron, być może moglibyśmy poprosić o jakąś zniżkę na każdą stronę, prawda? Może po prostu 60 groszy, 0,6 koron? Ale tak. Obliczmy więc, ile książek otrzymamy.

Pewnie domyślasz się, że moglibyśmy tak zmieniać cenę w nieskończoność. Jaki jest elegancki sposób na rozwiązanie tego problemu? Rozwiążemy to za pomocą parametru, używając innej litery do reprezentowania ceny za stronę naszej książki. Oznaczymy ten parametr literą p. Aby go ograniczyć, powiedzmy, że cena za stronę będzie w przedziale (0, 1> koron. Nie będzie zerowa, nikt nie wydrukuje jej za darmo i nikt nie sprawi, że będzie droższa niż korona za stronę. Jak wtedy będzie wyglądało równanie?

$$(100+300p)x=10 000$$

Pasuje do naszego wyobrażenia o cenie - sto koron to podstawa, nie zmienia się w żaden sposób. A cenę za 300 stron obliczymy mnożąc cenę za stronę, czyli parametr p, przez trzysta. Jakie będzie rozwiązanie równania? Musimy wyodrębnić x:

$$\begin{eqnarray} (100+300p)x=10 000\\ x=\frac{10 000}{100+300p} \end{eqnarray}$$

To wszystko. W tym momencie musimy tylko znać cenę za stronę i obliczyć, ile książek otrzymamy. Jeśli cena za stronę wynosi dwadzieścia groszy, mamy p:

$$x=\frac{10 000}{100+300\cdot0{,}2}=\frac{10 000}{100+60}=\frac{10 000}{160}\thickapprox62$$

Kupilibyśmy 62 książki. Całkiem nieźle.

Ogólne równanie parametryczne

W przypadku ogólnego równania parametrycznego próbujemy dowiedzieć się, jakie jest rozwiązanie równania w zależności od wartości parametru. Przykładem takiego równania może być:

$$(2p+2)x-6=0$$

Pierwszą rzeczą, którą znajdujemy, jest sytuacja, gdy niewiadoma znika z takiego równania x. Dzieje się tak, gdy współczynnik przed niewiadomą wynosi zero, tj. gdy 2p + 2 = 0. Rozwiązujemy to równanie i otrzymujemy:

$$\begin{eqnarray} 2p+2&=&0\\ 2p&=&-2\\ p&=&-1 \end{eqnarray}$$

Jeśli parametr p jest równy minus jeden, to niewiadoma x wypada z równania i otrzymujemy postać równania: −6 = 0. To równanie nie ma rozwiązania.

Teraz obliczymy rozwiązanie w przypadku, gdy p≠ − 1. Obliczymy rozwiązanie klasycznie, tylko nie otrzymamy "ostatecznego" rozwiązania, ale rozwiązanie zależne od parametru p. Wyodrębnimy x:

$$\begin{eqnarray} (2p+2)x-6&=&0\quad/+6\\ (2p+2)x&=&6\quad/:(2p+2)\\ x&=&\frac{6}{2p+2}\\ x&=&\frac{3}{p+1} \end{eqnarray}$$

To jest wynik końcowy. W przypadku, gdy p≠ − 1, pierwiastek równania jest równy ułamkowi 3/(p + 1).