Równania liniowe z wartością bezwzględną

Wartość bezwzględna to funkcja, która nie zmienia liczby nieujemnej i sprawia, że liczba ujemna jest dodatnia. Wartość bezwzględna może wystąpić podczas rozwiązywania równań liniowych.

Powtórzenie

Przypomnij sobie, jak oblicza się i zapisuje wartość bezwzględną. Wyrażenie w wartości bezwzględnej jest zapisywane za pomocą pionowych pasków w następujący sposób: |a| Mówimy "wartość bezwzględna liczby a". Prawdą jest wtedy, że wartość bezwzględna liczby nieujemnej to ta sama liczba. Przykłady: |3| = 3, |64| = 64, |π| = π. Jednak wartość bezwzględna liczby ujemnej jest liczbą dodatnią: $|-7|=7, |-\pi|=\pi, |-\frac12|=\frac12$. Wartością bezwzględną zera jest zero.

Prosty przykład

Przykładem prostej funkcji liniowej z wartością bezwzględną jest równanie: |x| = 3. Pytanie brzmi, kiedy wartość bezwzględna zwraca trzy jako wynik? Będą dwa x - jeden dodatni i jeden ujemny; więc równanie ma dwa rozwiązania. Pierwsze jest równe x₁ = 3, ponieważ |3| = 3. Drugie rozwiązanie jest równe x₂ = −3, ponieważ |−3| = 3.

Spróbujmy zmodyfikować równanie i uczynić je trudniejszym. |2x + 1| = 5 Wewnątrz wartości bezwzględnej mamy już bardziej skomplikowane wyrażenie. Możemy jednak postępować dokładnie tak samo, jak poprzednio. Jakie liczby są równe pięć w wartości bezwzględnej? Ponownie, 5 i −5. Co to oznacza? Że wnętrze wartości bezwzględnej, wyrażenie 2x + 1, musi być równe pięć lub minus pięć. Tylko wtedy równanie ma rozwiązanie. Rozwiązujemy więc równania 2x + 1 = 5 i 2x + 1 = −5. Rozwiązujemy je jako klasyczne równania liniowe. Otrzymujemy:

$$\begin{eqnarray} 2x+1&=&5\\ 2x&=&4\\ x&=&2 \end{eqnarray}$$

I drugi wynik:

$$\begin{eqnarray} 2x+1&=&-5\\ 2x&=&-6\\ x&=&-3 \end{eqnarray}$$

Mamy więc dwa wyniki: x₁ = 2 i x₂ = −3. Możemy spróbować dopasować je do oryginalnego równania. W przypadku x = 2 otrzymujemy: |2 · 2 + 1| = |4 + 1| = |5| = 5 a w przypadku x = −3 mamy: |2 · (−3)+1| = |−6 + 1| = |−5| = 5.

Usuwanie wartości bezwzględnej

Ale poprzednia procedura jest trudna do zastosowania, gdy mamy bardziej złożone równanie. Na przykład:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Tutaj mamy już dwa wyrażenia w wartości bezwzględnej, więc musimy wybrać inną procedurę. Najpierw trochę prostszy przykład: co będzie prawdą dla wyrażenia |x − 2|, jeśli weźmiemy x z przedziału (2, ∞)? Wyrażenie w wartości bezwzględnej będzie zawsze dodatnie. Na przykład, jeśli dodamy trójkę, otrzymamy: 3 − 2 = 1 Jeśli dodamy dziesiątkę, otrzymamy: 10 − 2 = 8 itd. Dla dowolnej liczby w tym przedziale wyrażenie ma wartość bezwzględną dodatnią. W jaki sposób wartość bezwzględna zagina dla nas wartość? Wcale nie. To ważne spostrzeżenie. Jeśli wyrażenie poniżej wartości bezwzględnej jest zawsze dodatnie, to możemy usunąć wartość bezwzględną - jest tam niepotrzebna. Jeśli weźmiemy x z przedziału (2, ∞), to równość |x − 2| = x − 2 jest zachowana (tj. usunęliśmy wartość bezwzględną).

Teraz odwrotny przykład - co jeśli weźmiemy x z przedziału (−∞, 2)? Jaka będzie wartość wyrażenia w wartości bezwzględnej, tj. wartość wyrażenia x − 2? Zawsze będzie ujemna! Spróbujmy podstawić jeden: 1 − 2 = −1 lub zero: 0 − 2 = −2 Co wartość bezwzględna zrobi z tą wartością? Odwróci ją do postaci dodatniej, zmieni znak. Możemy zmienić znak, mnożąc minus jeden, ponieważ 5 · (−1) = −5, ale także −7 · (−1) = 7 i −15 · (−1) = 15.

Jeśli więc weźmiemy x z przedziału (−∞, 2), to wyrażenie będzie zawsze ujemne w wartości bezwzględnej, a więc wartość bezwzględna zadziała i zmieni znak wyrażenia - pomnoży je przez −1. Możemy więc napisać, dla x z (−∞, 2), równość: |x − 2| = −(x − 2). Spróbujmy na przykład wstawić tam zero. Najpierw w wyrażeniu z wartością bezwzględną: |0 − 2| = |−2| = 2, a teraz po prawej stronie: −(0 − 2) = −(−2) = 2.

Jak widać, podobne interwały pozwalają nam podzielić wyrażenie z wartością bezwzględną na dwa różne wyrażenia, które możemy rozwiązać całkowicie oddzielnie. Jest to wygodne rozwiązanie. Pytanie brzmi, jak znaleźć te przedziały?

Metoda punktu zerowego

Kiedy wyrażenie x − 2 zmieniło znak? Z poprzedniej sekcji wiemy, że wyrażenie jest ujemne w całym przedziale (−∞, 2) i dodatnie w całym przedziale (2, ∞). Ile wynosi w punkcie x = 2? Po dodaniu okazuje się, że 2 − 2 = 0 wynosi zero. Nie jest to przypadek. Powód jest najlepiej widoczny na wykresie funkcji liniowej:

Wykres funkcji liniowej jest linią, która może przecinać oś x tylko raz, a gdy przecina oś x, zmienia znak. W związku z tym, jeśli funkcja liniowa przecina oś x w punkcie a, to w przedziale (−∞, a) będzie miała inny znak niż w przedziale (a, ∞).

W związku z tym, jeśli szukamy przedziałów, w których funkcja liniowa jest dodatnia, a kiedy jest ujemna, wystarczy znaleźć tak zwany punkt zerowy, tj. punkt x₀, dla którego funkcja liniowa f ma wartość funkcyjną równą zero: f(x₀) = 0 Jeśli więc szukamy przedziałów, w których wyrażenie x − 2 jest dodatnie, pierwszym równaniem, które rozwiązujemy, jest x − 2 = 0. Rozwiązaniem jest x = 2. Następnie możemy utworzyć przedziały: (−∞, 2) i (2, ∞). W tych przedziałach kontynuujemy rozwiązywanie równania, ale z usuniętą wartością bezwzględną.

Wracając do przykładu...

Wiele linijek temu zdefiniowaliśmy przykład:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Jak go rozwiązać? Najpierw znajdujemy punkty zerowe każdego wyrażenia poniżej wartości bezwzględnej, tj. dla wyrażeń 4x + 2 i x − 1. Wyrażenie 4x + 2 ma punkt zerowy $x=-\frac12$, a wyrażenie x − 1 ma punkt zerowy x = 1. Ponieważ mamy dwa punkty zerowe, będziemy mieć w sumie trzy przedziały. Każdy punkt zerowy w jakiś sposób podzieli przedział (−∞, ∞). W sumie otrzymamy więc interwały $(-\infty, -\frac12)$, $\left<-\frac12, 1\right>$ i (1, ∞). Zawsze wybieramy interwały tak, aby obejmowały cały przedział (−∞, ∞).

W następnym kroku musimy określić, czy wyrazy w przedziałach są dodatnie czy ujemne. W tym celu posłużymy się tabelą:

$$ \Large \begin{matrix} x&(-\infty, -\frac12)&\left<-\frac12, 1\right>&(1, \infty)\\\hline 4x+2&-&+&+\\ x-1&-&-&+ \end{matrix} $$

Znak minus − oznacza, że wyrażenie w danym przedziale jest ujemne, znak plus + oznacza, że jest ono dodatnie. Jak to obliczyliśmy? Wstawiliśmy dowolną liczbę z przedziału. Na przykład w środkowym przedziale mogliśmy podstawić zero, co jest najłatwiejsze obliczeniowo. Wtedy dla wyrażenia 4x + 2 otrzymamy 4 · 0 + 2 = 2, a dla x + 1 otrzymamy 0 − 1 = −1.

Wskazówka: jeśli wyrażenie jest ujemne w pierwszym przedziale i dodatnie w następnym przedziale, wyrażenie będzie ponownie dodatnie w każdym możliwym kolejnym przedziale. Funkcja liniowa nie może dwukrotnie zmienić znaku, patrz rysunek powyżej z wykresem funkcji liniowej.

W tym momencie wiemy, w których przedziałach wyrażenia są dodatnie lub ujemne. Nasze kolejne obliczenia musimy podzielić na trzy kroki, w każdym przedziale osobno.

Pierwszy przedział, tj. x bierzemy z $(-\infty, -\frac12)$. W tym przedziale oba wyrażenia są ujemne, więc jeśli chcemy usunąć wartość bezwzględną, oba wyrażenia muszą zmienić znak. Zatem w tym przedziale rozwiązujemy równanie:

$$-(4x+2)-(x-1)=6$$

Po prostu rozwiązujemy to równanie, używając poprawek równoważności:

$$\begin{eqnarray} -(4x+2)-(x-1)&=&6\\ -4x-2-x+1&=&6\\ -5x-1&=&6\\ -5x&=&7\\ x&=&-\frac{7}{5} \end{eqnarray}$$

Zauważ, że musimy sprawdzić, czy rozwiązanie pochodzi z przedziału, w którym się znajdujemy. Zakładamy teraz, że x pochodzi z przedziału $(-\infty, -\frac12)$, więc jeśli otrzymamy rozwiązanie, które nie pochodzi z tego przedziału, nie możemy go użyć. Minus siedem piątych znajduje się w przedziale $(-\infty, -\frac12)$, więc jest to prawidłowe rozwiązanie równania.

Drugi przedział, x, pochodzi z $\left<-\frac12, 1\right>$. W tym przedziale wyrażenie 4x + 2 jest dodatnie, a wyrażenie x − 1 jest nadal ujemne. Rozwiązujemy więc równanie

$$4x+2-(x-1)=6$$

Ponownie, po prostu modyfikujemy:

$$\begin{eqnarray} 4x+2-(x-1)&=&6\\ 4x+2-x+1&=&6\\ 3x+3&=&6\\ 3x&=&3\\ x&=&1 \end{eqnarray}$$

Czy rozwiązanie pochodzi z przedziału, w którym pracujemy? Tak, jest. Znaleźliśmy kolejne rozwiązanie równania liniowego.

Trzeci przedział, przedział (1, ∞). W tym przedziale oba wyrazy są dodatnie, więc możemy usunąć wartość bezwzględną bez dalszych zmian. Rozwiązujemy więc równanie:

$$4x+2+x-1=6$$

Możemy łatwo rozwiązać to równanie:

$$\begin{eqnarray} 4x+2+x-1=6\\ 5x+1=6\\ 5x=5\\ x=1 \end{eqnarray}$$

Otrzymaliśmy inny wynik, taki sam jak w poprzednim przedziale. Czy jest to jednak prawidłowe rozwiązanie dla przedziału, w którym się znajdujemy? Nie jest! Poruszamy się w otwartym przedz iale (1, ∞), jeden nie jest częścią tego przedziału, więc nie możemy uznać rozwiązania znalezionego w trzecim kroku za prawidłowe rozwiązanie.

Równanie liniowe z wartością bezwzględną ma dwa rozwiązania, $K=\left\{-\frac75, 1\right\}$.

Rozwiązanie graficzne

Podobnie jak klasyczne równanie liniowe, to również można rozwiązać graficznie. Po lewej stronie mamy funkcję f(x) = |4x + 2|+|x − 1|, a po prawej g(x) = 6. Wykreślmy te dwa wykresy - przecinają się one w dwóch punktach. x- współrzędne tych punktów są rozwiązaniami równania.

Zatem zbiór rozwiązań K zawiera punkty $K=\left\{-\frac75, 1\right\}$.