Parametryczne równanie kwadratowe

Parametryczne równanie kwadratowe różni się od zwykłego równania kwadratowego tym, że zawiera dodatkowy parametr, często określany jako p lub m. Naszym zadaniem jest zatem dowiedzieć się, jakie rozwiązanie ma równanie kwadratowe w zależności od tego parametru p.

Pierwszy przykład

Mamy następujące równanie kwadratowe z parametrem p.

$$x^2+2px+9=0.$$

Jakie różne rozwiązania ma to równanie w zależności od parametru p? Możemy wyróżnić trzy przypadki - równanie nie ma rozwiązania w dziedzinie liczb rzeczywistych, równanie ma dwa identyczne rozwiązania i równanie ma dwa różne rozwiązania. Rozróżniamy te przypadki za pomocą wyróżnika.

Parametr zachowuje się jak stała, tj. dla poprzedniego równania kwadratowego, a = 1, b = 2p i c = 9. Teraz obliczamy wyróżnik tak, jak jesteśmy przyzwyczajeni:

$$D=b^2-4ac=4p^2-4\cdot1\cdot9=4p^2-36.$$

Otrzymany wyróżnik to D = 4p² − 36. Teraz musimy dowiedzieć się, kiedy ten wyróżnik jest dodatni, ujemny i zerowy.

Zacznijmy od najprostszego przypadku, gdy wyróżnik wynosi zero. Rozwiążmy więc równanie 4p² − 36 = 0. Dla jakiego p ma to zastosowanie? Jest to równanie czysto kwadratowe i jest łatwe do rozwiązania:

$$\begin{eqnarray} 4p^2-36&=&0\\ p^2-9&=&0\\ p^2&=&9\\ p&=&\pm3 \end{eqnarray}$$

Jeśli parametr p jest równy plus lub minus trzy, to równanie kwadratowe ma jedno podwójne rozwiązanie.

Teraz rozwiązujemy, gdy wyróżnik jest dodatni. W ten sposób rozwiązujemy nierówność kwadratową

$$4p^2-36>0.$$

Znamy już punkty zerowe funkcji f(p) = 4p² − 36, które obliczyliśmy w poprzednim kroku. Na ich podstawie tworzymy dwa przedziały, jeden "wewnętrzny" i jeden "zewnętrzny".

$$\begin{eqnarray} I_1&=&(-\infty,-3)\cup(3, \infty)\\ I_2&=&(-3, 3) \end{eqnarray}$$

W jednym z tych przedziałów funkcja f(p) jest dodatnia, a w drugim ujemna. Znajdujemy to, podłączając punkt z jednego z przedziałów do funkcji. Najprostszym sposobem jest dodanie zera z przedziału I₂. Prawdą jest, że f(0) = 0 − 36 = −36. Zatem w przedziale I₂ funkcja jest ujemna, a w przedziale I₁ jest dodatnia.

Z tego wynika, że w przedziale I₁ równanie ma dwa różne rozwiązania, a w przedziale I₂ nie ma rozwiązania rzeczywistego. Można zobaczyć wykres funkcji f(p) = 4p² − 36. W punktach dodatnich i ujemnych pierwiastek kwadratowy z pięciu jest równy zero, w przedziale I₂ jest ujemny, a w przedziale I₁ jest dodatni.

Obliczanie pierwiastków równania

Teraz pozostaje nam obliczyć rozwiązanie równania w tych przypadkach, w których równanie ma rozwiązanie. Zaczynamy od przypadku, gdy równanie ma jeden podwójny pierwiastek, czyli gdy wyróżnik jest równy zero. Jest to przypadek, gdy parametr jest równy plus lub minus pierwiastek kwadratowy z dziewięciu.

Przypadek pierwszy, p = 3. Równanie przyjmuje wówczas postać:

$$x^2+2\cdot3x+9=0.$$

Oblicz wyróżnik tego równania. Powinien on wynosić zero:

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0.$$

Oblicz pierwiastek za pomocą wzoru:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{0}}{2a}=\frac{-6}{2}=-3.$$

Przypadek drugi, p = −3. Równanie ma postać:

$$x^2-2\cdot3x+9=0.$$

Oblicz wyróżnik:

$$D=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0.$$

Oblicz pierwiastek:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{0}}{2a}=\frac{6}{2}=3.$$

W ostatnim kroku po prostu obliczamy, jakie rozwiązania ma równanie, jeśli parametr jest ze zbioru (−∞,−3)∪(3, ∞). Mamy obliczony wyróżnik, więc obliczamy pierwiastki równania za pomocą wzoru.

$$x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{4p^2-36}}{2}=\frac{-b\pm\sqrt{4(p^2-9)}}{2}=\frac{-b\pm2\sqrt{p^2-9}}{2}.$$

Nie ma lepszego sposobu na modyfikację wyrażenia. Są to więc pierwiastki równania kwadratowego, jeśli parametr pochodzi z przedziału (−∞,−3)∪(3, ∞). Jeśli parametr pochodzi z przedziału (−3, 3), to równanie nie ma rzeczywistego rozwiązania.