Dyskryminant

Wyróżnik to wielomian, którego możemy użyć do obliczenia rozwiązania ogólnego równania kwadratowego lub do określenia, czy równanie ma rozwiązanie i ile ma takich rozwiązań.

Wzory i podstawowe zależności

Najpierw przyjrzyjmy się podstawowej postaci równania kwadratowego:

$$ax^2+bx+c=0,\quad a\ne0$$

gdzie a, b, c są liczbami rzeczywistymi. Wyróżnik, oznaczmy go przez D, oblicza się w następujący sposób:

$$D=b^2-4\cdot a\cdot c$$

Przykład: rozważmy równanie kwadratowe 3x² + 5x − 7 = 0. Dla tego równania: a = 3, b = 5, c = −7 Obliczamy wyróżnik w następujący sposób:

$$D=5^2-4\cdot3\cdot(-7)=25+4\cdot3\cdot7=25+84=109$$

Wynikiem jest 109. Co mówi nam ta liczba? Jeśli wyróżnik jest...

• dodatni, to równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste,
• zero, to równanie ma dwa równe pierwiastki rzeczywiste,
• ujemny, to równanie nie ma rozwiązania w dziedzinie liczb rzeczywistych. Ma ono jednak rozwiązanie w dziedzinie liczb zespolonych.

Jak obliczyć pierwiastki równania kwadratowego?

Korzystając z wyróżnika, możemy bezpośrednio obliczyć pierwiastki równania kwadratowego. Wzór na obliczanie pierwiastków jest następujący:

$$x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},$$

gdzie D jest wyróżnikiem. Pełny wzór z podzielonym wyróżnikiem wygląda następująco:

$$x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Spróbujmy użyć tego wzoru do obliczenia pierwiastków równania kwadratowego x² + 7x + 12 = 0. Najpierw obliczmy wyróżnik:

$$D=7^2-4\cdot1\cdot12=49-48=1.$$

Wyróżnik okazał się dodatni, więc równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Obliczmy pierwszy pierwiastek. Najpierw dodamy pierwiastek kwadratowy wyróżnika, a w drugim kroku odejmiemy pierwiastek kwadratowy:

$$x_1=\frac{-7+\sqrt{1}}{2}=\frac{-7+1}{2}=-\frac62=-3.$$

Pierwszy pierwiastek to −3. Obliczymy drugi pierwiastek, odejmując pierwiastek kwadratowy:

$$x_2=\frac{-7-\sqrt{1}}{2}=\frac{-7-1}{2}=-\frac82=-4.$$

Teraz mamy oba pierwiastki równania, x₁ = −3 i x₂ = −4.

Aby opanować tę procedurę, konieczne jest prawidłowe określenie wartości a, b i c. Jak prawidłowo je określić, opisano w pierwszym artykule na temat równań kwadratowych.

A co to rozwiązanie oznacza graficznie, jak wygląda na wykresie? Jeśli narysujemy wykres funkcji, która znajduje się po lewej stronie równania, okaże się, że wykres tej funkcji kwadratowej przecina oś x w dwóch punktach - x₁ = −3 i x₂ = −4.

Wyróżnik zerowy

Jeśli wyróżnik wynosi zero, oznacza to, że równanie ma rozwiązanie, ale tylko jedno; lub dwa, ale takie same. Przykład: rozwiąż równanie x² − 10x + 25 = 0. Oblicz wyróżnik:

$$D=(-10)^2-4\cdot1\cdot25=100-100=0.$$

Oblicz pierwiastek jak w poprzednim rozdziale, używając wzoru. Ale ponieważ wyróżnik wynosi zero, pierwiastek plus/minus z D znika ze wzoru, ponieważ dodawalibyśmy/odejmowali zero.

$$x_{1{,}2}=\frac{-(-10)}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

Otrzymaliśmy jeden podwójny pierwiastek, x = 5. Co to oznacza graficznie? Wykres danej funkcji dotyka osi x dokładnie w jednym punkcie, jego wierzchołku.

Ujemny wyróżnik

Jeśli wyróżnik jest ujemny, to równanie kwadratowe nie ma rozwiązania w dziedzinie liczb rzeczywistych. Możemy rozwiązać równanie w dziedzinie liczb zespolonych, ale to temat na inny artykuł. Dla przykładu, spróbujmy rozwiązać to równanie kwadratowe: x² + x + 1 = 0 Wyróżnik:

$$D=1^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3.$$

Zatem równanie kwadratowe nie ma rozwiązania w dziedzinie liczb rzeczywistych. Możesz spróbować - wielomian x² + x + 1 będzie dodatni dla wszystkich liczb rzeczywistych. Na przykład, jeśli po x wstawimy jedynkę, otrzymamy: 1 + 1 + 1 = 3 Jeśli x = −1, to mamy 1 − 1 + 1 = 1. Jeśli x = 0, to mamy 0 + 0 + 1 = 1. I podobnie dla innych liczb. Można również zobaczyć wykres funkcji y = x² + x + 1, która nigdy nie przecina osi x.

Wzory wietnamskie

Wiemy już, jak obliczyć rozwiązanie równania kwadratowego. Ale jaki jest związek między nimi? Spróbujmy dodać dwa rozwiązania x₁ i x₂:

$$\begin{eqnarray} x_1+x_2&=&\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\ &=&\frac{-b+\sqrt{D}-b-\sqrt{D}}{2a}\\ &=&\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a} \end{eqnarray}$$

Jeśli dodamy pierwiastki równania kwadratowego ax² + bx + c = 0, otrzymamy iloraz −b/a. Co się stanie, jeśli pomnożymy pierwiastki?

$$\begin{eqnarray} x_1\cdot x_2&=&\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\cdot\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\ &=&\frac{b^2+b\cdot\sqrt{D}-b\cdot\sqrt{D}-D}{4a^2}\\ &=&\frac{b^2-D}{4a^2}\\ &=&\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ &=&\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a} \end{eqnarray}$$

Jeśli pomnożymy pierwiastki, otrzymamy liczbę c/a. A to są wzory Wietesa. Znowu razem:

$$\begin{eqnarray} x_1+x_2&=&-\frac{b}{a}\\ x_1\cdot x_2&=&\frac{c}{a} \end{eqnarray}$$

Zauważmy, że mianownik ułamka zawsze zawiera wyrażenie a. Szczególnym przypadkiem jest równanie kwadratowe, dla którego a = 1. Następnie możemy zapisać wzory Wiet w następujący sposób:

$$\begin{eqnarray} \mbox{ Jeśli } a=1:\\ x_1+x_2&=&-b\\ x_1\cdot x_2&=&c \end{eqnarray}$$

Możemy to wykorzystać do znajdowania rozwiązań równań kwadratowych. Zamiast obliczać wyróżnik w skomplikowany sposób, możemy sprawdzić, czy jesteśmy w stanie znaleźć liczby x₁ i x₂ takie, że powyższe relacje zachodzą. Przykład: znajdź rozwiązanie równania x² + 8x + 15 = 0. Okazuje się, że a = 1, więc możemy użyć prostszych wzorów Viet. Szukamy liczb x₁ i x₂ takich, że zachodzi następująca zależność:

$$\begin{eqnarray} x_1+x_2&=&-8\\ x_1\cdot x_2&=&15 \end{eqnarray}$$

Jeśli ograniczymy się do liczb całkowitych, mamy w sumie cztery sposoby na uzyskanie 15 po dodaniu:

$$\begin{eqnarray} 1\cdot15&=&15\\ 3\cdot5&=&15\\ -3\cdot(-5)&=&15\\ -1\cdot(-15)&=&15 \end{eqnarray}$$

Teraz potrzebujemy sumy liczb po prawej stronie, która da nam −8. Tylko jedna para da taką sumę, a mianowicie −3 i −5. Liczby te są zatem rozwiązaniami równania kwadratowego. Możemy spróbować wstawić je do równania, musi wyjść zero:

$$\begin{eqnarray} (x=-3):\quad &&(-3)^2-8\cdot3+15=9-24+15=0\\ (x=-5):\quad &&(-5)^2-8\cdot5+15=25-40+15=0 \end{eqnarray}$$

Pasuje. Jeśli znasz pierwiastki, możesz również zapisać równanie w bardziej czytelnej formie. Jeśli x₁ i x₂ są pierwiastkami równania ax² + bx + c = 0, to jeśli a = 1, można przepisać równanie w postaci

$$(x-x_1)(x-x_2)=0.$$

Możemy więc przepisać poprzednie równanie w tej postaci:

$$(x-(-3))(x-(-5))=(x+3)(x+5)=0.$$

Referencje

• Wyprowadzenie wyróżnika i wzór na obliczanie pierwiastków równania kwadratowego