Paradoksy teorii mnogości

Naiwna teoria mnogości zawiera kilka interesujących paradoksów, które ostatecznie doprowadziły do rozwoju bardziej szczegółowej teorii mnogości. Paradoksy te często opierają się na fakcie, że w klasycznej, naiwnej teorii mnogości możliwe jest, aby zbiór zawierał sam siebie jako swój element.

Paradoks Russella

Jednym z najbardziej znanych paradoksów jest paradoks Russella. Można go zdefiniować w następujący sposób: rozważmy zbiór N, który zawiera dokładnie te zbiory, które nie zawierają siebie jako swojego elementu. Tak więc, jeśli zbiór zawiera siebie jako swój element, to nie należy do zbioru N. Jeśli nie zawiera siebie, to należy do zbioru N.

Pytanie brzmi: czy zbiór N zawiera jako swój element zbiór N, czyli siebie samego?

Analizując przypadki, stwierdzamy, że: jeśli zbiór N nie zawiera N, to jest zbiorem, który nie zawiera samego siebie i powinien należeć do zbioru N, czyli N ∈ N powinien zachodzić.

Jeśli jednak zbiór N zawiera element N, to zbiór N ∈ N nie powinien zachodzić, ponieważ zbiór N zawiera tylko te zbiory, które nie zawierają siebie jako elementu.

Paradoks polega więc na tym, że zawsze naruszamy jeden z warunków. Jeśli N ∈ N, to jest to sprzeczne z definicją zbioru N (zawiera on tylko zbiory, które nie zawierają samych siebie, tutaj oczywiście N zawiera N jako swój element), a jeśli N ∈ N nie zachodzi, to ponownie naruszamy definicję N.

Nie możemy więc skonstruować takiego zbioru, co nie powinno mieć miejsca w poprawnej teorii mnogości.

Paradoks Russella ma również kilka naturalnych interpretacji. Na przykład paradoks fryzjera. W mieście jest fryzjer, który goli ludzi, którzy sami się nie golą. Pytanie brzmi: czy fryzjer goli się sam?

Paradoks Cantora

Innym paradoksem jest paradoks Cantora. Polega on na tym, że jeśli mamy zbiór M, to jego zbiór potęgowy P(M) (zbiór wszystkich podzbiorów zbioru M) zawsze ma wyższą kardynalność, jest większy. W przypadku zbiorów skończonych widać to na pierwszy rzut oka, dla zbiorów nieskończonych można to łatwo udowodnić. To twierdzenie, nawiasem mówiąc, nazywa się twierdzeniem Cantora, a jego dokładne brzmienie i dowód można znaleźć w Wikipedii.

Sam paradoks jest już prostszy od poprzedniego. Wyobraźmy sobie zbiór wszystkich zbiorów, oznaczmy go przez M. Zatem dla dowolnego zbioru N, prawdą jest, że N ∈ M. Ale z twierdzenia Cantora wynika, że kardynalność zbioru potęgowego P(M) jest większa niż kardynalność M. Jest to jednak sprzeczne z faktem, że M zawiera wszystkie zbiory - jeśli zbiór P(M) jest większy niż M, to musi zawierać elementy, których nie zawiera zbiór M.