Operacje z relacjami

Ponieważ relacje są w rzeczywistości zbiorami, możemy wykonywać na nich klasyczne operacje na zbiorach.

Operacje na zbiorach

W poprzednim artykule zdefiniowaliśmy sesję jako zbiór. Na zbiorach możemy wykonywać operacje takie jak złączenie, przecięcie czy różnica. Zobaczmy, jakie jest tego znaczenie w przypadku relacji.

Pierwszą rzeczą, którą musimy zrobić, jest wprowadzenie warunku, ponieważ nie możemy wykonywać tych operacji między dowolnymi sesjami. Jeśli mamy sesję "mniej niż" i "bycie liczbą parzystą", operacje te nie będą miały sensu, ponieważ pierwsza sesja jest binarna, podczas gdy druga jest jednoargumentowa. Tak więc, aby ponownie uzyskać sesję po zastosowaniu operacji set, wszystkie obecne sesje muszą mieć tę samą arity, tj. wszystkie muszą być n-ary dla jakiegoś n.

Unifikacja

Miejmy sesję "mniej niż" i sesję "równości". Co się stanie, jeśli ujednolicimy te sesje? W sesji "mniej niż" mamy wszystkie pary [a, b], dla których zachodzi a < b. W sesji "równość" mamy wszystkie pary [a, b], dla których zachodzi a = b. Zatem w sesji < ∪ = będą wszystkie pary [a, b], dla których zachodzi a < b lub a = b. Liczba a jest albo mniejsza niż b, albo równa. Znamy taką sesję i nazywamy ją "mniejszą lub równą" i oznaczamy jako ≤.

Jeśli mamy sesje R₁ i R₂, to ich unia daje sesję R = R₁ ∪ R₂, dla której zachodzi następująca zależność: element r jest w sesji R jeśli jest w sesji R₁ lub jest w sesji R₂. Innymi słowy, będzie on w wynikowej sesji, jeśli był w co najmniej jednej z zunifikowanych sesji.

Przecięcie

Po ujednoliceniu otrzymujemy nową sesję, której elementy były elementami co najmniej jednej z ujednoliconych sesji. W przypadku przecięcia jest podobnie, tylko elementy muszą być członkami obu sesji.

Jeśli ponownie weźmiemy sesję mniejszą niż i równość (nad liczbami rzeczywistymi) i wykonamy ich przecięcie - co otrzymamy? Powinniśmy otrzymać elementy, które są zarówno mniejsze niż, jak i równe w sesji. Ale taki przypadek nie może się zdarzyć, ponieważ jeśli a < b, to a = b nigdy nie zachodzi. Otrzymalibyśmy pustą sesję.

Miejmy dwie sesje: "podzielność bez reszty" i sesję binarną zawierającą pary elementów [a, b], gdzie a jest liczbą nieparzystą, a b jest liczbą parzystą. Pracujmy nad liczbami naturalnymi. W pierwszej sesji byłyby pary liczb takie jak [5, 15], [6, 30], [3, 123] - zawsze druga liczba musi być podzielna przez pierwszą. W drugiej sesji znajdą się pary liczb, w których pierwsza liczba jest nieparzysta, a druga parzysta: [1, 4], [5, 14], [3, 24] itd. Przecięcie tych sesji spowoduje powstanie nowej sesji R i będzie zawierać takie pary [a, b], dla których b jest podzielna przez a, podczas gdy a jest nieparzysta, a b jest parzysta. Na przykład: [5, 30] lub [3, 24].

Różnica

Jeśli mamy dwie sesje R₁ i R₂, to różnica R₁ − R₂ utworzy nową sesję, która zawiera elementy znajdujące się w R₁, ale nie w R₂. Możemy ponownie powrócić do sesji mniejszej niż lub równej i równości. Jeśli sesja R₁ jest mniejsza lub równa, a sesja R₂ jest równością, to różnica R₁ − R₂ daje elementy, które są w sesji mniejszej lub równej, ale nie w sesji równości. Otrzymujemy więc pary [a, b], dla których a ≤ b jest prawdziwe, a jednocześnie a = b nie jest prawdziwe. Innymi słowy, otrzymujemy relację mniej niż: <.

Uzupełnienie sesji

Dla każdej sesji możemy znaleźć sesję dopełniającą. Elementami sesji komplementarnej R są wszystkie elementy, które nie należą do oryginalnej sesji R. Na przykład, sesją komplementarną do sesji równości (tj. = ) jest sesja nierówności. W pierwszej sesji mamy wszystkie pary elementów, które są równe (np. 5 = 5), w sesji uzupełniającej mamy wszystkie liczby, które nie są równe (np. 5≠6).

Jedyną rzeczą, na którą należy uważać przy określaniu dopełnienia sesji, jest zbiór wsparcia - zbiór, do którego należy sesja. Relację równości możemy zdefiniować na liczbach naturalnych, całkowitych, rzeczywistych, a nawet na zbiorze wszystkich ludzi na Ziemi.

Jeśli mamy relację binarną R taką, że jest ona ze zbiorów M₁ i M₂: R ⊆ M₁ × M₂, to dopełnienie tej relacji, oznaczmy je S, jest równe S = (M₁ × M₂) ∖ R: są to elementy, które są w iloczynie kartezjańskim zbiorów wspierających, ale nie w relacji R. Podobnie dla sesji o innych arities.