Koło Thaleta
Kapitoly: Kręgi, Koło Thaleta
Twierdzenie Thaleta mówi, że wszystkie trójkąty, których środek okręgu opisanego leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta, są trójkątami prostokątnymi.
Opis okręgu Taleta
Niejaki Tales z Miletu dawno temu odkrył interesującą własność trójkąta. Narysujmy trójkąt i jego okrąg opisany tak, aby środek tego okręgu przecinał przeciwprostokątną (najdłuższy bok) trójkąta. Spójrzmy na poniższy rysunek:
Na rysunku mamy okrąg k o środku w punkcie S. Okrąg ten jest przeciwprostokątną trójkąta ABC, tzn. przechodzi przez wszystkie wierzchołki trójkąta. Ważną własnością jest to, że przeciwprostokątna przechodzi przez środek okręgu, przechodząc przez punkt S.
Wówczas kąt wewnętrzny ABC zawsze ma miarę $90^{\circ}$, czyli jest kątem prostym.
Bez względu na to, gdzie przesuniemy wierzchołek B wzdłuż okręgu, zawsze otrzymamy kąt prosty w tym wierzchołku. Jeszcze kilka przykładów:
Dowód
Wyjaśnimy, dlaczego trójkąt wpisany w okrąg Thaleta jest zawsze prostokątny. Zmodyfikujmy nieco pierwszy rysunek:
Prawdą jest, że trójkąty SCB i ASB są równoramienne, ponieważ zawsze mają dwa boki równej długości. W przypadku trójkąta SCB, boki mają długości SC i SB, ponieważ ich długość jest równa promieniowi okręgu. Dla drugiego trójkąta boki mają długości SA i SB.
Dlatego wielkości kąta BCS i kąta SBC są takie same, co na rysunku oznaczono literą β. To samo dotyczy drugiego trójkąta, który jest oznaczony literą α.
Wiemy również, że suma kątów w trójkącie musi zawsze dawać nam $180^{\circ}$. Teraz wyrażamy sumę kątów w trójkącie ABC za pomocą kątów α i β. To musi być prawda
$$ \alpha + \beta + \alpha + \beta = 180. $$
Jeden kąt α istnieje dla kąta CAB, drugi kąt α dla kąta ABS. Zrób to samo dla kąta β. Zmodyfikujemy nieco poprzednie równanie:
$$ 2\alpha+2\beta = 180 $$
Dzielimy równanie przez dwa:
$$ \alpha+\beta = 90 $$
Dowód jest kompletny. Wiemy, że suma kątów α + β jest równa 90 i wiemy, że suma kątów α i β daje nam kąt wewnętrzny ABC.