Stopniowe zainteresowanie

W praktyce często zdarza się, że banki podają roczną stopę procentową, ale stosują ją w rozbiciu na miesiące. Jak obliczyć miesięczną stopę procentową?

Konto oszczędnościowe w Earth Bank

Earth Bank chwali się, że posiada jedno z najlepszych kont oszczędnościowych z oprocentowaniem 2% w skali roku. Chociaż podaje roczną stopę procentową, dodaje odsetki co miesiąc, więc dodaje odsetki łącznie 12 razy w ciągu roku. Jak wysokie jest miesięczne oprocentowanie? To znaczy, ile pieniędzy otrzymujemy co miesiąc?

Możemy wyprowadzić ten wzór ze wzoru na odsetki składane. Ale pierwszą rzeczą, jaką robimy, jest obliczenie, ile pieniędzy będziemy mieć na koncie w ciągu jednego roku. Załóżmy, że wpłaciliśmy na konto 100 000 CZK. Wtedy w ciągu jednego roku będziemy mieć +2%, czyli

$$ 100{,}000 \cdot 1{,}02 = 102{,}000 $$

Za rok będziemy mieć 102 000 na koncie, zyskaliśmy 2 000. Ze wzoru na procent składany wiemy, że musi on wypłacić

$$ j_t = j_0\cdot(1+d)^t, $$

gdzie j₀ to początkowy depozyt, d to stopa procentowa, a t wskazuje, ile razy złożyliśmy odsetki od tej kwoty. To właśnie d jest nieznane w tym wzorze - znamy tylko roczną stopę procentową, ale szukamy miesięcznej stopy procentowej. Zaoszczędziliśmy w sumie 12 razy, więc t = 12. Wiemy jednak, że j_t jest równe 102 000, po roku zaoszczędziliśmy 102 000 koron, już to obliczyliśmy z rocznej stopy procentowej. Otrzymujemy więc równanie:

$$ 102 000 = 100 000\cdot 1{,}02 = 100 000\cdot(1+d)^{12} $$

Widzimy, że wartość (1 + d)¹² musi być równa 1,02. Jeśli obliczymy dwunasty pierwiastek z wartości 1,02, otrzymamy wartość 1 + d. Dwunasty pierwiastek wynosi w przybliżeniu 1,0016515813. Jeśli co miesiąc będziemy oprocentowywać tę kwotę w wysokości 0,0016515813, otrzymamy łączne odsetki składane w wysokości 0,02 z wynikową kwotą 102 000 koron.