Wyrażanie zmiennej
Jak wyrazić jedną konkretną zmienną ze złożonego związku lub ułamka. Technika ta jest szczególnie używana podczas pracy z różnymi formułami, w których występuje wiele zmiennych. Jednak w połączeniu z innymi formułami możemy osiągnąć bezprecedensowe wyczyny, w których wyprowadzamy wszystko z niczego.
Proste wyrażenia liniowe
Rozważmy ten wzór: ax + b = c Jak wyodrębnić x z tego wyimaginowanego wzoru? Zawsze zaczynamy od umieszczenia wszystkich wyrażeń ze zmienną, którą izolujemy, po lewej stronie, a resztę po prawej stronie. Teoretycznie nie ma znaczenia, po której stronie co się znajduje, ale konwencją jest, aby niewiadoma, którą wyrażamy, znajdowała się po lewej stronie. Najpierw przenosimy b na prawą stronę, czyli dodajemy −b do równania:
\begin{eqnarray} ax + b &=& c \quad /-b\ ax &=& c -b \end{eqnarray}
Mamy wyrażenia ze zmienną po jednej stronie, ale wciąż przeszkadza nam ten a. Jak się go elegancko pozbyć? Co musimy zrobić z wyrażeniem ax, aby otrzymać tylko x? Tak, dzielimy wyrażenie - a zatem całe równanie - przez a, lub mnożymy przez $\frac{1}{a}$. Wartość a musi być różna od zera(nie możemy dzielić przez zero). Jeśli to zrobimy, otrzymamy:
\begin{eqnarray} ax &=& c -b\quad\cdot\frac{1}{a}\quad(a\ne0)\x &=& \frac{c-b}{a} \end{eqnarray}
Gotowe. Inny przykład:
$$2ax − 3bx = 10a$$
Ponownie musimy wyodrębnić x. Mamy już wyrażenia z niewiadomą po lewej stronie, więc zaoszczędziliśmy sobie trochę pracy. Ale komplikacja polega na tym, że mamy dwa wyrażenia z niewiadomą. Rozwiązujemy sytuację przez wyrzut. Z lewej strony równania wypisujemy x i otrzymujemy:
\begin{eqnarray} 2ax - 3bx &=& 10a\\x(2a - 3b) &=& 10a \end{eqnarray}
Gdy w poprzednim przykładzie mieliśmy wyrażenie ax i chcieliśmy uzyskać tylko x, pomnożyliśmy całe równanie przez $\frac{1}{a}$. Teraz mamy wyrażenie x(2a − 3b) w równaniu i ponownie chcemy poznać x. Robimy to samo, dzielimy całe równanie przez wyrażenie (2a − 3b). Nie martw się, rzeczywiście możemy podzielić równanie przez cały nawias, po prostu musi to być 2a − 3b ≠ 0.
\begin{eqnarray} x(2a - 3b) &=& 10a\quad /\cdot \frac{1}{2a - 3b}\x &=& \frac{10a}{2a-3b} \end{eqnarray}
Ułamki
Jeśli mamy wyrażenie z ułamkami, używamy tych samych modyfikacji równania, musimy tylko uważać, aby przypadkowo nie podzielić lub pomnożyć przez zero. Przykład:
$$ \frac{a}{x}=\frac{b}{c} $$
Chcemy wyodrębnić x. Mnożymy całe równanie przez x - musimy tylko dodać założenie, że x ≠ 0. To i tak prawda, ponieważ ułamek $\frac{a}{x}$ jest w równaniu, a x jest w mianowniku - nie możemy dzielić przez zero. Otrzymujemy więc równanie:
\begin{eqnarray} \frac{a}{x}&=& \frac{b}{c}\quad/\cdot x\quad(x\ne0)\& &=& \frac{bx}{c}\quad/\cdot c\quad(c\ne0)\& ac&=& bx\quad\cdot\frac{1}{b}\quad(b\ne0)\\frac{ac}{b}&=& x&=&\frac{ac}{b}\end{eqnarray}
Podczas izolowania niewiadomej wystarczy użyć zwykłych równań równań.