Jak rozwiązywać szeregi liczbowe

Ciągi liczbowe są używane w różnych testach logicznych. Otrzymujesz sekwencję pewnych liczb, a Twoim zadaniem jest dodanie po sekwencji liczby, która powinna logicznie następować. W tym artykule pokażemy, jak rozwiązywać takie ciągi liczbowe.

Zadanie

Klasyczny problem dla ciągów liczbowych wygląda następująco:

$$2, 4, 6, 8, 10, ?$$

Twoim zadaniem jest znalezienie liczby, którą można dodać po znaku zapytania w sposób, który ma największy sens. Musisz więc znaleźć jakąś charakterystyczną własność wśród podanych liczb i użyć jej do obliczenia brakującej liczby. W tym przypadku wynikiem będzie liczba 12, ponieważ każda liczba w serii jest zawsze 2 większa od poprzedniej.

Rozwiązanie nie zawsze musi być proste. Można powiedzieć, że po znaku zapytania możemy umieścić dowolną liczbę, o ile potrafimy uzasadnić ten wybór.

Dodawanie i mnożenie

Do najprostszych ciągów należą te, w których wystarczy dodać liczbę. Przykłady:

$$3, 10, 17, 24, ?$$

Tutaj, 7 jest zawsze dodawane, więc w miejscu znaku zapytania byłoby 31. Inny przykład:

$$-8, -5, -2, 1, ?$$

Zawsze dodajemy 3, następną liczbą w serii będzie 4. Inny przykład:

$$17, 8, -1, -10, ?$$

W tym wierszu dodajemy −9, lub odejmujemy 9. Następną liczbą w szeregu będzie −19. Kolejny przykład:

$$2, 4, 8, 16, ?$$

Tutaj już nie dodajemy, ale mnożymy. Liczba jest zawsze dwa razy większa od poprzedniej, więc wynikiem będzie 32. Następny przykład:

$$27, 9, 3, 1, ?$$

W tej serii, dla kontrastu, dzielimy przez trzy. Wynikiem będzie $\frac13$. Możemy również dodać liczbę niestałą:

$$2, 4, 7, 9, 12, ?$$

Naprzemiennie dodajemy +2 i +3. Dodajemy więc +2 do 2, aby otrzymać 4. Następnie dodajemy +3, aby otrzymać 7. I tak dalej. Dodajemy 2 do 12 i otrzymujemy 14. Inny przykład:

$$5, 6, 8, 11, 15, 20, ?$$

W tej serii zawsze dodajemy o jeden numer więcej niż w poprzednim kroku, zaczynając od +1. Tak więc 5 + 1 = 6, 6 + 2 = 8, 8 + 3 = 11, itd. Na koniec dodajemy 6, otrzymując 20 + 6 = 26. Inny przykład:

$$1, 2, 6, 12, 36, 72, ?$$

Na przemian mnożymy przez dwa i przez trzy. 1 · 2 = 2, 2 · 3 = 6, 6 · 2 = 12, itd. Na koniec mnożymy przez trzy, więc wynikiem jest 216.

Naprzemienne wiersze

Możemy dalej łączyć wiersze i operacje. Możemy więc użyć dodawania raz i mnożenia drugi raz:

$$3, 12, 14, 56, 58, 174, ?$$

Tutaj najpierw mnożymy przez cztery, a w następnym kroku dodajemy dwa. Zatem: 3 · 4 = 12, 12 + 2 = 14, 14 · 4 = 56, itd. Na koniec dodajemy dwa, więc wynikiem jest 176. Podobny przykład:

$$3, 9, 5, 15, 11, 33, 29, ?$$

Najpierw mnożymy przez trzy, a następnie odejmujemy cztery. Zatem: 3 · 3 = 9, 9 − 4 = 5, 5 · 3 = 15, itd. Na koniec mnożymy przez trzy, więc wynikiem jest 87.

Możemy połączyć wiersze tak, aby w rzeczywistości istniały dwa wiersze, które mają swoją własną charakterystyczną właściwość. Przykład:

$$2, 1, 4, 6, 8, 11, 16, 16, 32, ?$$

Na pozycjach nieparzystych mamy znaną serię 2, 4, 8, 16, 32, więc liczba jest zawsze dwa razy większa od poprzedniej, a na pozycjach parzystych mamy sekwencję 1, 6, 11, 16, ?. Jest to seria, w której zawsze dodajemy pięć. Wynikiem jest więc liczba 16 + 5 = 21. Jeszcze jeden przykład:

$$2, 7, 3, 11, 5, 15, 8, 19, 12, ?$$

W tej serii możemy znaleźć dwie podserie. Na pozycjach nieparzystych mamy 2, 3, 5, 8, 12, który jest ciągiem, w którym zawsze dodajemy o jedną liczbę więcej niż w poprzednim kroku. Na pozycjach parzystych mamy: 7, 11, 15, 19, ? Dodajemy więc tylko czwórkę. Wynikiem jest 23.

Ciągi klasyczne

Istnieje kilka klasycznych ciągów, o których warto wspomnieć. Na początek:

• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, … - Ciąg kwadratów liczb naturalnych. Inaczej zapisywany: 1², 2², 3², 4², 5², … Jeśli widzisz którąkolwiek z tych liczb w sekwencji, szczególnie te większe, istnieje przyzwoita szansa, że pierwiastek kwadratowy odgrywa jakąś rolę.

• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … - Jest to słynny ciąg Fibonacciego. Każda liczba jest definiowana jako suma dwóch poprzednich liczb. Od tyłu: 21 = 8 + 13, 13 = 5 + 8, 8 = 3 + 5 itd. Pierwsze dwie liczby, zero i jeden, są stałe.

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … - ciąg liczb pierwszych. Warto zauważyć, że liczby pierwsze nie zawierają jedynki.

• 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, … - Sekwencja współczynników. Liczba na n-tej pozycji jest dana przez iloczyn 1 · 2 · 3 · … · n. Na przykład, liczbą na czwartej pozycji jest 24, czyli 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Inne rodzaje ciągów

Przykład:

$$17, 3, 6, 14, -3, 23, 19, ?$$

Rozwiązanie jest takie, że jeśli dodamy liczby na pierwszej i drugiej pozycji, otrzymamy liczbę dwadzieścia: 17 + 3 = 20 To samo dla następujących par: 6 + 14 = 20, −3 + 23 = 20, 19+? = 20. Zatem w miejscu znaku zapytania powinna znajdować się jedynka. Inny przykład:

$$?, 7, 12, 4, 5, 9, 6, -1, 5$$

W tym ciągu dzielimy liczby na trójki a, b, c, z a + b = c. Tak więc ?+7 = 12 i 4 + 5 = 9. Tak więc w miejscu znaku zapytania, 5. Inny przykład:

$$2, 4, 10, 28, ?$$

Tutaj połączyliśmy dwie operacje: mnożenie i dodawanie. Kolejna liczba jest uzyskiwana przez pomnożenie poprzedniej przez trzy i odjęcie dwóch. Mamy więc: 4 = 2 · 3 − 2, 10 = 4 · 3 − 2, 28 = 10 · 3 − 2. Następny w kolejce jest 28 · 3 − 2 = 82.