✖

Czy jest więcej liczb parzystych czy nieparzystych?

Jak myślisz, których liczb jest więcej? Liczb suchych czy nieparzystych? A może jest ich tyle samo? Jak moglibyśmy to ocenić? A co z innymi liczbami? Czy więcej jest liczb parzystych czy naturalnych? Liczb naturalnych czy liczb wymiernych? Nie jest to takie proste, ponieważ wszystkich wymienionych liczb jest nieskończenie wiele. Jednak jesteśmy w stanie porównać i zobaczyć, których liczb jest więcej, a których mniej.

Spróbujmy zademonstrować to na małym zbiorze liczb. Wyobraźmy sobie dwa zestawy liczb: liczby niebieskie i liczby czerwone:

1
2
3
4
5
6
7
8
9

Czy jest jakiś sposób, aby stwierdzić, których liczb jest więcej? Czerwone czy niebieskie? Wyraźnie widzę, że... Co? Że jesteś ślepy na kolory i nie widzisz wyraźnie? W porządku, od teraz będziemy pokazywać dodatkowe czerwone liczby jako kwadraty:

1
2
3
4
5
6
7
8
9

Okej, teraz wyraźnie widzimy, że niebieskich liczb jest więcej niż czerwonych. Było to łatwe, ponieważ pracujemy ze skończonymi zbiorami liczb, więc jesteśmy w stanie je policzyć. Widzimy, że mamy sześć niebieskich liczb i tylko trzy czerwone. Nieskończone zbiory nie będą tak proste, ponieważ nie możemy ich policzyć. Odpowiedzmy więc na pytanie z tytułu: czy jest więcej liczb suchych czy nieparzystych? Dla uproszczenia pozostańmy przy liczbach dodatnich. Wyobraźmy sobie worek pełen wszystkich liczb nieparzystych i worek pełen wszystkich liczb parzystych. Który worek jest większy?

1
3
5
7
9
11
13
15
...
2
4
6
8
10
12
14
16
...

Cóż, wyobrażenie sobie nieskończonej liczby liczb nie jest łatwe, a policzenie ich jest jeszcze trudniejsze. Czy nie ma innego sposobu na porównanie rozmiarów zbiorów?

Porównanie dwóch skończonych zbiorów

Wyobraźmy sobie, że mamy worek pełen panów młodych i worek pełen panien młodych. Jeśli mamy jedną pannę młodą na każdego pana młodego i jednego pana młodego na każdą pannę młodą, możemy powiedzieć, że mamy taką samą liczbę panów młodych i panien młodych:

👰 👰 👰 👰 👰 👰 👰.

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Widzisz? Każda panna młoda z pierwszego rzędu ma swojego męża z drugiego rzędu i odwrotnie - każdy mąż ma swoją żonę. Ale może też wystąpić inny przypadek: każda panna młoda miałaby swojego męża, ale nie każdy mąż miałby pannę młodą:

👰 👰 👰 👰 👰 ❌.

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Każda żona ma męża, ale jeden mąż pozostaje smutny na occie bez żony. W tym momencie, gdy pozostaje jeden mąż, możemy powiedzieć, że mamy więcej mężów niż żon. Podobnie, gdy zostanie jedna panna młoda

👰 👰 👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 ❌

możemy powiedzieć, że mamy więcej narzeczonych niż mężów.

Porównanie dwóch nieskończonych ilości

Czy możemy użyć tej procedury do porównania dwóch nieskończonych zbiorów? Czy możemy sparować każdą liczbę nieparzystą z pewną liczbą parzystą i każdą liczbę parzystą z pewną liczbą nieparzystą, przy czym żadna z tych liczb nie może być użyta więcej niż raz? Możemy! Możemy sparować każdą liczbę nieparzystą n z liczbą parzystą n + 1. Tak więc liczbę 5 łączymy w parę z liczbą 5+1, liczbę 149 z liczbą 150 itd. Poniższa animacja pokazuje parowanie:

1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50

Dla każdej nieparzystej czerwonej liczby mamy odpowiadającą jej unikalną niebieską liczbę parzystą, a dla każdej parzystej niebieskiej liczby mamy odpowiadającą jej unikalną czerwoną liczbę nieparzystą. Udało nam się sparować wszystkie liczby nieparzyste ze wszystkimi liczbami parzystymi. Oznacza to, że istnieje taka sama liczba liczb parzystych i nieparzystych!

Cóż, nie było to całkowicie zaskakujące, prawda? Spróbujmy porównać inne zbiory liczb: wszystkie liczby naturalne z liczbami parzystymi. Tutaj wynik będzie bardziej szokujący.

Czy więcej jest liczb naturalnych czy parzystych?

Których liczb jest więcej? Liczb naturalnych czy parzystych?

1
2
3
4
5
6
7
8
...
2
4
6
8
...

Widzimy oczywiście, że liczby naturalne zawierają jednocześnie wszystkie liczby parzyste. Ponadto, liczby naturalne zawierają kilka dodatkowych liczb - liczb nieparzystych. Jest więc jasne, że liczb naturalnych musi być więcej - zawierają one dwa razy więcej liczb!

Tak, gdyby tylko życie było takie proste!

Nie obchodzi nas, czy jeden zbiór liczb zawiera jakieś dodatkowe liczby. Interesuje nas to, czy możemy w jakiś sposób połączyć w pary liczby z dwóch różnych zbiorów. Czy jesteśmy w stanie sparować każdą liczbę parzystą z każdą liczbą naturalną? Nawet jeśli liczb naturalnych jest więcej? Ależ tak, jesteśmy w stanie.

Możemy łatwo sparować każdą liczbę naturalną p z liczbą parzystą 2 · p i odwrotnie - możemy sparować każdą liczbę parzystą n z liczbą naturalną n / 2. Tak więc parujemy liczbę naturalną 5 z liczbą parzystą 10, a liczbę parzystą 14 z liczbą naturalną 7 itd. Parowanie dla kilku pierwszych liczb pokazano na poniższej animacji:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50

Nagle mamy unikalną liczbę parzystą dla każdej liczby naturalnej i mamy unikalną liczbę naturalną dla każdej liczby parzystej! Co z tego, że jest więcej liczb naturalnych. Obu liczb jest nieskończenie wiele i nigdy ich nie zabraknie. Z naszego punktu widzenia, zbiór liczb parzystych jest tak duży, jak zbiór liczb całkowitych! 😱

To trochę sprzeczne z intuicją, ale prawdziwe.

Czy jest więcej liczb naturalnych czy wymiernych?

Liczbywymierne to ułamki. Wszystkie liczby, które można zapisać w postaci p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi, są liczbami wymiernymi. Na przykład ½, ¾ lub 8 są liczbami wymiernymi, ale π nie jest już liczbą wymierną. Liczb wymiernych jest znacznie więcej niż liczb naturalnych. Na przykład między liczbami 2 i 4 znajduje się jedna liczba całkowita, a mianowicie liczba 3, ale nieskończenie wiele liczb wymiernych. Istnieje nieskończenie wiele liczb wymiernych nawet pomiędzy 0,001 a 0,002. Jest tak wiele liczb wymiernych!

Można by więc oczekiwać, że zbiór liczb wymiernych musi być większy niż zbiór liczb naturalnych. Ale jednocześnie wszyscy podejrzewamy, że jest jakiś haczyk. Spróbujmy zatem połączyć liczby wymierne z liczbami naturalnymi. Zacznijmy od zapisania liczb wymiernych w poniższej tabeli:

1⁄1
1⁄2
1⁄3
1⁄4
1⁄5
1⁄6
2⁄1
2⁄2
2⁄3
2⁄4
2⁄5
2⁄6
3⁄1
3⁄2
3⁄3
3⁄4
3⁄5
3⁄6
4⁄1
4⁄2
4⁄3
4⁄4
4⁄5
4⁄6
5⁄1
5⁄2
5⁄3
5⁄4
5⁄5
5⁄6
6⁄1
6⁄2
6⁄3
6⁄4
6⁄5
6⁄6

Wzór powinien być jasny: wszystkie ułamki w pierwszym rzędzie mają jedynkę w mianowniku (powyżej linii ułamka) i kolejno rosnące liczby 1, 2, 3 itd. w liczniku. W kolumnie jest odwrotnie. Gdybyśmy kontynuowali w nieskończoność, mielibyśmy wszystkie istniejące ułamki w tej tabeli. Na przykład ułamek 1478/517 znajduje się w wierszu 1478 i kolumnie 517. Spróbujmy teraz utworzyć naszą funkcję dopasowującą. Moglibyśmy utworzyć ją w następujący sposób:

  • parujemy liczbę naturalną 1 z pierwszym ułamkiem w pierwszym wierszu, tj. 1/1
  • Parujemy liczbę naturalną 2 z drugim ułamkiem w pierwszym rzędzie, tj. z 1/2
  • Sparuj liczbę naturalną 3 z trzecim ułamkiem w pierwszym wierszu, tj. 1/3
  • Parujemy liczbę naturalną 4 z czwartym ułamkiem w pierwszym wierszu, tj. 1/4
  • ...

Czy udało nam się w ten sposób sparować wszystkie liczby naturalne? Cóż, tak. Każda liczba naturalna ma swój odpowiednik. Liczba naturalna 174 ma swój odpowiednik w postaci ułamka 1/174. Ale czy odwrotna sytuacja również ma miejsce? Czy każdy ułamek ma swój odpowiednik w liczbach naturalnych? Jaki odpowiednik ma ułamek 2/3? Żadnego, ponieważ nigdy nie dotarliśmy do drugiego wiersza z naszą funkcją dopasowania. Byliśmy w stanie połączyć w pary tylko pierwszy rząd ułamków.

Czy to oznacza, że jest więcej liczb wymiernych niż naturalnych? Niestety nie - tylko dlatego, że jedna strategia dopasowywania nie działa, nie oznacza, że inna nie zadziała. Spróbujmy tym razem po przekątnej:

1⁄1
1⁄2
1⁄3
1⁄4
1⁄5
1⁄6
2⁄1
2⁄2
2⁄3
2⁄4
2⁄5
2⁄6
3⁄1
3⁄2
3⁄3
3⁄4
3⁄5
3⁄6
4⁄1
4⁄2
4⁄3
4⁄4
4⁄5
4⁄6
5⁄1
5⁄2
5⁄3
5⁄4
5⁄5
5⁄6
6⁄1
6⁄2
6⁄3
6⁄4
6⁄5
6⁄6
  • Sparuj liczbę naturalną 1 z ułamkiem 1/1 (pierwsza przekątna),
  • sparować liczbę naturalną 2 z ułamkiem 1/2 (druga przekątna),
  • sparować liczbę naturalną 3 z ułamkiem 2/1 (druga przekątna),
  • sparować liczbę naturalną 4 z ułamkiem 1/3 (trzecia przekątna),
  • sparować liczbę naturalną 5 z ułamkiem 2/2 (trzecia przekątna),
  • sparować liczbę naturalną 6 z ułamkiem 3/1 (trzecia przekątna),
  • itd.

Strategie parowania można zobaczyć na animacji:

1⁄1
1
1⁄2
2
1⁄3
4
1⁄4
7
1⁄5
11
1⁄6
16
2⁄1
3
2⁄2
5
2⁄3
8
2⁄4
12
2⁄5
17
2⁄6
3⁄1
6
3⁄2
9
3⁄3
13
3⁄4
18
3⁄5
3⁄6
4⁄1
10
4⁄2
14
4⁄3
19
4⁄4
4⁄5
4⁄6
5⁄1
15
5⁄2
20
5⁄3
5⁄4
5⁄5
5⁄6
6⁄1
21
6⁄2
6⁄3
6⁄4
6⁄5
6⁄6

W ten sposób możemy objąć wszystkie ułamki. Żadna przekątna nie jest nieskończona, więc nie trafimy "na zawsze" na żadnej przekątnej. Ostatecznie każdy ułamek będzie miał przypisaną jakąś liczbę naturalną i oczywiście każda liczba naturalna będzie miała przypisany jakiś unikalny ułamek.

Cóż... nie do końca. Jeśli ponownie spojrzymy na naszą tabelę ułamków, zobaczymy, że jest w niej wiele powtarzających się liczb. Na przykład ułamki 1/1, 2/2, 3/3 itd. reprezentują tę samą liczbę - liczbę 1. Podobnie ułamki 1/2, 4/2 i 6/3 reprezentują połowę. W efekcie odwzorowujemy liczby naturalne 1, 5, 13 itd. na tę samą liczbę wymierną 1! Mamy kilku panów młodych poślubiających tę samą pannę młodą. To nie zadziała!

Na szczęście możemy to łatwo naprawić. Krótko mówiąc, wykreślamy wszystkie ułamki z naszej tabeli, które nie są w postaci podstawowej, tj. wykreślamy wszystkie ułamki, które można obciąć. Po tym usunięciu w tabeli pozostaną tylko unikalne liczby wymierne, a nasza sztuczka z przekątną zadziała. Każda liczba naturalna zostanie sparowana z unikalną liczbą naturalną i odwrotnie.

Oznacza to jednak, że zbiór liczb naturalnych jest tak duży, jak zbiór liczb wymiernych!

Jak dotąd wygląda na to, że wszystkie zbiory nieskończone są tego samego rozmiaru. Czy istnieje jakiś nieskończony zbiór, który jest większy niż zbiór liczb naturalnych?

Czy istnieje więcej liczb naturalnych czy więcej liczb rzeczywistych?

W grę wchodzi nasza ostatnia deska ratunku: liczby rzeczywiste. Nie mamy więcej liczb na osi liczb rzeczywistych. Jak wyglądają liczby rzeczywiste? Liczby rzeczywiste zawierają wszystkie liczby wymierne plus wszystkie liczby niewymierne. Jeśli zapiszemy liczbę w zapisie dziesiętnym, to jest to liczba wymierna:

  • ma albo skończone rozwinięcie dziesiętne, np. 0,4841554,
  • lub ma nieskończone rozwinięcie okresowe: 0.1313131313....

Z drugiej strony, liczba niewymierna zawsze ma nieskończone rozwinięcie dziesiętne, ale nie jest okresowa. Liczbą niewymierną jest na przykład liczba π, która jest równa 3.141592653... (bez okresu). Powiedzmy od razu, że liczb rzeczywistych jest znacznie więcej niż liczb wymiernych, a zatem niż liczb naturalnych. Zbiór liczb rzeczywistych jest większy niż zbiór liczb naturalnych. Jak to udowodnić?

Wyobraźmy sobie, że znaleźliśmy strategię łączenia w pary wszystkich liczb naturalnych i wszystkich liczb rzeczywistych. Powiedzmy, że jest to:

1 → 0.3452807674449021... 2 → 0.8978319745321683... 3 → 0.8972169570849831... 4 → 0.0635759905832629... 5 → 0.0081863365749335... 6 → 0.4000559394278442... 7 → 0.8637537627594889... ...

Załóżmy, że po lewej stronie mamy wszystkie liczby naturalne, a po prawej wszystkie liczby rzeczywiste. Gdyby to była prawda, nie moglibyśmy znaleźć żadnej liczby rzeczywistej, której brakuje po prawej stronie. Ponieważ już ustaliliśmy, że zbiór liczb rzeczywistych jest większy, oznacza to, że brakuje nam liczby po prawej stronie. Tak, ale jakiej liczby? Na przykład widzimy, że brakuje liczby 0.4818063607183678. Ale co, jeśli ukrywa się ona pod liczbą 8?

1 → 0.3452807674449021... 2 → 0.8978319745321683... 3 → 0.8972169570849831... 4 → 0.0635759905832629... 5 → 0.0081863365749335... 6 → 0.4000559394278442... 7 → 0.8637537627594889... 8 → 0.4818063607183678 ...

A co z liczbą 0.4208424736008147? Tam też jej nie widzimy. Ale co, jeśli ukrywa się pod numerem dziewięć?

1 → 0.3452807674449021... 2 → 0.8978319745321683... 3 → 0.8972169570849831... 4 → 0.0635759905832629... 5 → 0.0081863365749335... 6 → 0.4000559394278442... 7 → 0.8637537627594889... 8 → 0.4818063607183678 9 → 0.4208424736008147 ...

To nie zadziała w ten sposób. Oczywiście, ponieważ nie możemy wymienić wszystkich par, ponieważ jest ich nieskończenie wiele, nie możemy po prostu zgadywać, czy ta liczba tam jest, czy nie. Musielibyśmy znaleźć liczbę, która różni się od wszystkich liczb po prawej stronie tabeli, nawet jeśli nie wiemy, jakie są wszystkie liczby po prawej stronie. Jak to zrobić?

Aby dwie liczby były różne, muszą różnić się tylko jedną cyfrą. Na przykład, liczby 0.123456 i 0.123457 nie są takie same - ale różnią się tylko jedną cyfrą. To wystarczy. Możemy więc zawsze zaznaczyć n-tą liczbę rzeczywistą w naszej tabeli z n-tą cyfrą po przecinku:

1 → 0.3452807674449021... 2 → 0.8978319745321683... 3 → 0.8972169570849831... 4 → 0.0635759905832629... 5 → 0.0081863365749335... 6 → 0.4000559394278442... 7 → 0.8637537627594889... 8 → 0.48180636071836789 → 0.4208424736008147 ...

i tworzymy nową liczbę tak, aby n-ta cyfra po przecinku różniła się od n-tej cyfry n-tej liczby rzeczywistej. Tak więc konstruujemy nową liczbę, zaczynając od zera: 0,??? i wybierając pierwszą cyfrę po przecinku, aby różniła się od pierwszej cyfry pierwszej liczby rzeczywistej, tj. różniła się od trzech. Na przykład zapisujemy 0,1????. Druga cyfra musi być różna od drugiej cyfry drugiej liczby rzeczywistej, czyli musi być różna od 9. Na przykład zapisujemy dwójkę: 0,12????. I tak dalej. Tak więc pierwsze dziewięć cyfr może wyglądać jak 0.123123127 (patrz ostatni wiersz tabeli):

1 → 0.3452807674449021... 2 → 0.8978319745321683... 3 → 0.8972169570849831... 4 → 0.0635759905832629... 5 → 0.0081863365749335... 6 → 0.4000559394278442... 7 → 0.8637537627594889... 8 → 0.48180636071836789 → 0.4208424736008147? → 0.123123127

Widzimy, że ta liczba różni się od wszystkich liczb, ponieważ zawsze różni się od wszystkich liczb co najmniej jedną cyfrą. Chociaż nasza tabela zawiera nieskończoną liczbę liczb, nasza nowa liczba składa się z nieskończenie wielu cyfr, tak że różni się od wszystkich liczb w tabeli o co najmniej jedną cyfrę. Zauważmy też, że możemy skonstruować nieskończenie wiele liczb, których nie ma w tabeli! Co z tego wynika? Nie jesteśmy w stanie sparować liczb naturalnych z liczbami rzeczywistymi. Zawsze pozostaje nam nieskończenie wiele liczb rzeczywistych, które nie zostaną sparowane z żadną liczbą naturalną. Liczb rzeczywistych jest znacznie więcej niż liczb naturalnych.

Uwagi na koniec

  • Dla uproszczenia zignorowaliśmy w tym artykule liczby ujemne. Oczywiście nie zmieniają one niczego i w ramach pracy domowej można zmodyfikować wspomniane tutaj strategie parowania tak, aby działały z liczbami ujemnymi.
  • Rozmiar zbioru liczb naturalnych ma nawet swoją nazwę. Nazywamy ją alef-zero.
  • W matematyce często używamy terminu kardynalność lub kardynalność zbioru zamiast rozmiaru zbioru.