Metoda szybkiego dodawania Trachtenberga
Metoda dodawania Trachtenberga to procedura szybkiego dodawania kilku liczb, a następnie użycia innej procedury do sprawdzenia, czy policzyliśmy poprawnie. Procedura ta została wynaleziona przez rosyjskiego matematyka Jakowa Trachtenberga. Pokażemy tę metodę na przykładzie. Spróbujmy dodać te trzy liczby:
$$9551+7375+9262=?$$
Najpierw zapisujemy liczby jedna pod drugą w następujący sposób:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline \end{array}$$
Teraz zaczynamy dodawać kolumny, zaczynając od prawej. Interesuje nas, czy suma jest większa lub równa 11. W pierwszym kroku dodajemy ostatnią kolumnę, tj. dodajemy 1 + 5 + 2 = 8. Ten wynik jest mniejszy niż 11, więc po prostu zapisujemy liczbę pod linią:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&\color{red}{1}\\ +&7&3&7&\color{red}{5}\\ +&9&2&6&\color{red}{2}\\ \hline &&&&\color{red}{8}\\ \end{array}$$
W drugim kroku dodajemy drugą kolumnę od prawej, tj. dodajemy 5 + 7 + 6 = 18. Metoda Trachtenberga mówi, że za każdym razem, gdy suma jest większa lub równa 11, odejmujemy 11 od sumy i pamiętamy, ile razy musieliśmy to zrobić. Ponieważ 18 jest większe niż 11, odejmujemy 18 − 11 = 7. Zapisujemy liczbę siedem poniżej wiersza, a ponieważ odjęliśmy 11 raz, zapisujemy ją jeden wiersz poniżej:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&\color{red}{5}&1\\ +&7&3&\color{red}{7}&5\\ +&9&2&\color{red}{6}&2\\ \hline &&&\color{red}{7}&8\\ &&&\color{red}{1}&\\ \end{array}$$
Jeśli wrócimy do poprzedniej kolumny po prawej stronie, zobaczymy, że suma była równa osiem, więc nie musieliśmy odejmować liczby 11 ani razu. Dodajmy więc do tabeli liczbę zero:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&\color{red}{1}\\ +&7&3&7&\color{red}{5}\\ +&9&2&6&\color{red}{2}\\ \hline &&&7&\color{red}{8}\\ &&&1&\color{red}{0}\\ \end{array}$$
Kontynuujemy z trzecią kolumną od prawej i dodajemy 5 + 3 + 2 = 10. Nie boimy się liczby dziesięć, jest ona mniejsza niż 11, więc zapisujemy ją poniżej linii z zerem, ponieważ nie musieliśmy odejmować 11:
$$\begin{array}{cccc} &9&\color{red}{5}&5&1\\ +&7&\color{red}{3}&7&5\\ +&9&\color{red}{2}&6&2\\ \hline &&\color{red}{10}&7&8\\ &&\color{red}{0}&1&0\\ \end{array}$$
A teraz dodajemy czwartą kolumnę od prawej, czyli pierwszą. Widzimy, że 9 + 7 = 16, która jest już większa od 11. Odejmujemy więc 16 − 11 = 5, pamiętając, że już raz odjęliśmy 11, a następnie kontynuujemy z liczbą 5, którą dodajemy z liczbą w trzecim rzędzie, czyli liczymy 5 + 9 = 14. Liczba czternaście jest również większa od 11, więc odejmujemy 14 − 11 = 3. Zapisujemy ten wynik pod wierszem wraz z informacją, że musieliśmy odjąć 11 nawet dwa razy:
$$\begin{array}{cccc} &\color{red}{9}&5&5&1\\ +&\color{red}{7}&3&7&5\\ +&\color{red}{9}&2&6&2\\ \hline &\color{red}{3}&10&7&8\\ &\color{red}{2}&0&1&0\\ \end{array}$$
Do wyniku pod linią dodamy jeszcze jedną kolumnę z dwoma zerami, przyda się później:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline \color{red}{0}&3&10&7&8\\ \color{red}{0}&2&0&1&0\\ \end{array}$$
Jak uzyskać wynik metody Trachtenberga
Zróbmy kolejną poziomą linię i dodajmy dwie ostatnie kolumny. Pierwszą rzeczą, jaką robimy, jest dodanie 8 + 0 = 8 i zapisanie wyniku poniżej linii:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline 0&3&10&7&\color{red}{8}\\ 0&2&0&1&\color{red}{0}\\ \hline &&&&\color{red}{8}\\ \end{array}$$
Od tego momentu musimy stać się bardziej skomplikowani i dodać liczby w kształcie litery "L". Dodajemy więc dwie liczby z przedostatniej kolumny i dodajemy do nich drugą liczbę z poprzedniej kolumny, dodając w ten sposób 7 + 1 + 0 = 8:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline 0&3&10&\color{red}{7}&8\\ 0&2&0&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\ \hline &&&\color{red}{8}&8\\ \end{array}$$
Następnie dodajemy 10 + 0 + 1 = 11. Teraz postępujemy jak w przypadku zwykłego dodawania: zapisujemy tylko ostatnią cyfrę 1, a dziesiątka przechodzi do następnej rundy.
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline 0&3&\color{red}{10}&7&8\\ 0&2&\color{red}{0}&\color{red}{1}&0\\ \hline &&\color{red}{1}&8&8\\ \end{array}$$
W następnej rundzie dodajemy 3 + 2 + 0 + 1 = 6, gdzie 1 na końcu to 1, która przeszła dalej w poprzedniej rundzie (tj. dla każdej 10, która przeszła dalej, dodajemy tutaj 1).
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline 0&\color{red}{3}&10&7&8\\ 0&\color{red}{2}&\color{red}{0}&1&0\\ \hline &\color{red}{6}&1&8&8\\ \end{array}$$
A teraz w końcu używamy kolumny z dwoma zerami - jest tam tylko po to, abyśmy nie zapomnieli wykonać ostatniej sumy 0 + 0 + 2 = 2.
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline \color{red}{0}&3&10&7&8\\ \color{red}{0}&\color{red}{2}&0&1&0\\ \hline \color{red}{2}&6&1&8&8\\ \end{array}$$
To jest nasz wynik, który uzyskaliśmy za pomocą metody Trachtenberga. Czyli,
$$9551+7375+9262=26188.$$
Weryfikacja wyników pośrednich
Zaletą metody Trachtenberga jest to, że możemy stosunkowo łatwo zweryfikować poprawność obliczeń bez konieczności wykonywania ich ponownie. Trachtenberg znalazł sposób na weryfikację wyników pośrednich i wyniku końcowego za pomocą zupełnie innej procedury. Jeśli więc obliczymy sumę za pomocą metody Trachtenberga i jednocześnie przeprowadzimy test, możemy mieć pewność, że obliczenia zostały wykonane poprawnie. Spróbujmy więc zweryfikować poprawność naszego wyniku.
Możemy podzielić nasze obliczenia na trzy części. Mamy dodatki, wyniki pośrednie i wynik:
$$\begin{array}{cccc} &\color{red}{9}&\color{red}{5}&\color{red}{5}&\color{red}{1}\\ +&\color{red}{7}&\color{red}{3}&\color{red}{7}&\color{red}{5}\\ +&\color{red}{9}&\color{red}{2}&\color{red}{6}&\color{red}{2}\\ \hline \color{green}{0}&\color{green}{3}&\color{green}{10}&\color{green}{7}&\color{green}{8}\\ \color{green}{0}&\color{green}{2}&\color{green}{0}&\color{green}{1}&\color{green}{0}\\ \hline \color{blue}{2}&\color{blue}{6}&\color{blue}{1}&\color{blue}{8}&\color{blue}{8}\\ \end{array}$$
W pierwszym etapie sprawdzamy, czy poprawnie obliczyliśmy wyniki pośrednie. Aby to zrobić, musimy wykonać numerowanie kolumn. Cyfryzację liczby uzyskujemy poprzez dodanie wszystkich jej cyfr. Na przykład, cyfrę 456 otrzymamy dodając 4 + 5 + 6 = 15. Jeśli wynik jest większy niż 9, wykonujemy kolejną digitalizację, tj. nadal obliczamy 1 + 5 = 6. Cyfra 456 jest zatem równa 6.
Teraz wracamy do dodawania i obliczamy cyfrę ostatniej kolumny, tj. obliczamy cyfrę 152, obliczamy 1 + 5 + 2 = 8.
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&\color{red}{1}\\ +&7&3&7&\color{red}{5}\\ +&9&2&6&\color{red}{2}\\ \hline &&&&\color{red}{8} \end{array}$$
Następnie obliczamy cyfrę przedostatniej kolumny, tj. liczbę 576, czyli 5 + 7 + 6 = 18, a następnie otrzymujemy 1 + 8 = 9.
$$\begin{array}{cccc} &9&5&\color{red}{5}&1\\ +&7&3&\color{red}{7}&5\\ +&9&2&\color{red}{6}&2\\ \hline &&&\color{red}{9}&8 \end{array}$$
Dla pozostałych dwóch kolumn otrzymujemy 5 + 3 + 2 = 10, ponieważ liczba ma dwie cyfry, otrzymujemy 1 + 0 = 1:
$$\begin{array}{cccc} &9&\color{red}{5}&5&1\\ +&7&\color{red}{3}&7&5\\ +&9&\color{red}{2}&6&2\\ \hline &&\color{red}{1}&9&8 \end{array}$$
a dla pierwszej kolumny otrzymamy 9 + 7 + 9 = 25, a następnie 2 + 5 = 7:
$$\begin{array}{cccc} &\color{red}{9}&5&5&1\\ +&\color{red}{7}&3&7&5\\ +&\color{red}{9}&2&6&2\\ \hline &\color{red}{7}&1&9&8 \end{array}$$
Otrzymane cyfry są równe: 7198. Teraz przyjrzymy się wynikom pośrednim:
$$\begin{array}{cccc} \color{green}{0}&\color{green}{3}&\color{green}{10}&\color{green}{7}&\color{green}{8}\\ \color{green}{0}&\color{green}{2}&\color{green}{0}&\color{green}{1}&\color{green}{0}\\ \end{array}$$
Kopiujemy drugi wiersz i wklejamy go na końcu, więc drugi wiersz będzie tam dwa razy:
$$\begin{array}{cccc} 0&3&10&7&8\\ 0&2&0&1&0\\ 0&2&0&1&0\\ \end{array}$$
Teraz postępujemy tak samo jak w przypadku dodawania. Tworzymy liczbę z każdej kolumny i obliczamy jej cyfry. Ponownie możemy zacząć od końca, więc otrzymamy 8 + 0 + 0 = 8, następna kolumna da nam 7 + 1 + 1 = 9, następna 10 + 0 + 0 = 10, a następnie 1 + 0 = 1 i wreszcie 3 + 2 + 2 = 7:
$$\begin{array}{cccc} 0&3&10&7&8\\ 0&2&0&1&0\\ 0&2&0&1&0\\ \hline 0&\color{red}{7}&\color{red}{1}&\color{red}{9}&\color{red}{8} \end{array}$$
W tym momencie porównujemy wyniki digitalizacji. Wynikowe digitalizacje sumatorów dały nam liczbę 7198, podobnie jak digitalizacje wyników pośrednich - więc obliczyliśmy poprawnie. Jeśli te wyniki były inne, to gdzieś popełniliśmy błąd. Albo podczas testu, albo podczas samego liczenia.
Weryfikacja wyniku
Sprawdzenie, czy poprawnie obliczyliśmy wynik, jest w tym momencie bardzo proste. Obliczamy cyfryzację wyniku i cyfryzację cyfr i powinno wyjść to samo. Bierzemy więc nasz wynik 26 188 i obliczamy jego cyfryzację:
$$\begin{eqnarray} 2+6+1+8+8&=&25\\ 2+5&=&7 \end{eqnarray}$$
Teraz obliczamy cyfryzację naszych obliczonych cyfr, tj. cyfryzację 7198:
$$\begin{eqnarray} 7+1+9+8&=&25\\ 2+5&=&7 \end{eqnarray}$$
Widzimy, że obie cyfryzacje są równe siedem, więc test poszedł dobrze i obliczyliśmy poprawnie!