Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy to prosta operacja między dwoma wektorami, która zwraca nowy wektor, który jest prostopadły do dwóch wektorów.

Co to jest iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy jest definiowany między dwoma wektorami i tylko w przestrzeni. Wynik iloczynu wektorowego, w przeciwieństwie do iloczynu skalarnego, jest ponownie wektorem. Wynikiem iloczynu wektorowego wektorów $\vec{\mathbf{u}}$ i $\vec{\mathbf{v}}$ jest wektor $\vec{\mathbf{w}}$, który ma następujące właściwości:

$$|\vec{\mathbf{w}}|=|\vec{\mathbf{u}}|\cdot|\vec{\mathbf{v}}|\cdot\sin\alpha,$$

gdzie α jest kątem między wektorami $\vec{\mathbf{u}}$ i $\vec{\mathbf{v}}$. Ponadto wektor $\vec{\mathbf{w}}$ jest prostopadły do obu wektorów $\vec{\mathbf{u}}$ i $\vec{\mathbf{v}}$. Kierunek wynikowy jest zgodny z regułą prawej ręki. Aby odróżnić iloczyn wektorowy od iloczynu skalarnego, używamy znaku × dla wektora: $\vec{\mathbf{u}} \times \vec{\mathbf{v}}$.

Pytanie pokazuje możliwy iloczyn wektorowy $\vec{\mathbf{u}} \times \vec{\mathbf{v}}$. Wynikiem jest wektor $\vec{\mathbf{w}}$, który jest prostopadły do obu wektorów. Poruszamy się w przestrzeni, więc wektory $\vec{\mathbf{u}}$ i $\vec{\mathbf{v}}$ znajdują się w tej samej płaszczyźnie, a wektor $\vec{\mathbf{w}}$ jest prostopadły do tej płaszczyzny.

Jeśli jeden wektor jest kombinacją liniową drugiego, to ich iloczyn wektorowy jest równy wektorowi zerowemu. Obejmuje to przypadek, w którym oba wektory leżą na tej samej linii. Jeśli co najmniej jeden wektor jest równy zero, to wynikowy iloczyn również jest równy zero.

Jak znaleźć współrzędne wektora wynikowego?

Na razie możemy obliczyć wielkość wektora wynikowego i jego kierunek. Bardziej praktyczne jest jednak bezpośrednie poznanie współrzędnych takiego wektora. Sam wzór wygląda następująco:

$$u\times v=(u_2v_3-v_2u_3, u_3v_1-v_3u_1, u_1v_2-v_1u_2)$$

Wzór ten jest dość trudny do zapamiętania, więc istnieje narzędzie, które pomoże go zapamiętać:

Dzięki tej tabeli możemy już ładnie mnożyć wektory. Przykład: rozważmy wektory $\vec{\mathbf{u}}=(4,0,0)$ i $\vec{\mathbf{v}}=(0,5,0)$. Są to wektory leżące w całości na osi odpowiednio x i y. Ich iloczyn wektorowy będzie równy:

$$\begin{matrix} \vec{\mathbf{u}}&0&&0&&4&&0\\\hline \vec{\mathbf{v}}&5&&0&&0&&5\\ \vec{\mathbf{u}}\times \vec{\mathbf{v}}&&0&&0&&20 \end{matrix}$$

Wynikowy wektor $\vec{\mathbf{w}}$ ma współrzędne (0, 0, 20). Możemy zweryfikować, że wynik jest poprawny na podstawie pierwszej definicji. Mówi ona, że

$$|w|=|u|\cdot|v|\cdot\sin\alpha,$$

Nasz wektor $\vec{\mathbf{w}}$ ma rozmiar 20. Zatem, zgodnie ze wzorem:

$$20=|u|\cdot|v|\cdot\sin\alpha$$

Dodajemy:

$$20=4\cdot5\cdot\sin90^\circ=20\cdot1=20.$$

Do czego to służy?

Oczywiście możemy użyć iloczynu wektorowego, aby znaleźć wektor prostopadły do dwóch innych wektorów. Ponownie możemy sprawdzić, czy rzeczywiście tak jest, używając iloczynu skalarnego. Wynik musi być równy zero. Weryfikacja dla poprzedniego przykładu:

$$\begin{eqnarray} \vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{w}}&=&4\cdot0+0+0\cdot20=0\\ \vec{\mathbf{v}}\cdot \vec{\mathbf{w}}&=&0+5\cdot0+0\cdot20=0 \end{eqnarray}$$

Innym przykładem zastosowania jest obliczenie zawartości równoległoboku w przestrzeni. Jeśli mamy równoległobok ABCD w przestrzeni i wektory $\vec{\mathbf{u}}$ i $\vec{\mathbf{v}}$, które są utworzone przez boki AB i AD, to zawartość równoległoboku jest równa $S=|\vec{\mathbf{u}} \times \vec{\mathbf{v}}|$. Jeśli mamy trójkąt ABC w przestrzeni, to jego zawartość jest równa $S=\frac12|\vec{\mathbf{u}} \times \vec{\mathbf{v}}|$.

Przykład: oblicz zawartość trójkąta w przestrzeni utworzonego przez wierzchołki: A[1,0,3], B[5, 6, 8] i C[3, 5, 4].

Najpierw musimy wyznaczyć wektory $\vec{\mathbf{u}}$ i $\vec{\mathbf{v}}$.

$$\begin{eqnarray} u&=&B-A=(4, 6, 5)\\ v&=&C-A=(2, 5, 1) \end{eqnarray}$$

Teraz obliczamy ich iloczyn:

$$\vec{\mathbf{w}}=\vec{\mathbf{u}}\times \vec{\mathbf{v}}=(-19, 6, 8)$$

A następnie wielkość:

$$|\vec{\mathbf{w}}|=\sqrt{(-19)^2+6^2+8^2}=\sqrt{461}\approx21{,}47$$

Na koniec dzielimy wynik przez dwa:

$$S(\triangle ABC)=\frac{21{,}47}{2}=10{,}735$$