Odległość punktu od prostej

Odległość punktu od prostej jest równa długości "najkrótszego" odcinka prostej poprowadzonego z tego punktu do tej prostej.

Przypisanie

Mamy prostą p i punkt A, który nie leży na tej prostej. Interesuje nas odległość punktu A od prostej p. Dla przykładu weźmiemy prostą daną równaniem ogólnym p: −x + 2y − 12 = 0 i punkt A[6,4]:

Odległość punktu od prostej jest wtedy równa długości prostej AB, gdzie prosta AB jest prostopadła do prostej p, a punkt B leży na prostej p. Oznaczymy prostą AB q .

Rozwiązanie za pomocą wzoru

Jeśli nie chcesz niczego wyprowadzać i wykonywać "skomplikowanych" obliczeń, możesz po prostu zapamiętać wzór. Dla punktu A[a₁, a₂] i prostej p wyznaczonych przez równanie ogólne p: ax + by + c = 0, odległość punktu A od prostej p jest równa:

$$ v(A, p) = \frac{|a\cdot a_1 + b \cdot a_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$

Możemy zastosować wzór do poprzedniego przykładu. Dodajemy:

\begin{eqnarray} v(A, p) &=& \frac{|-1\cdot6+2\cdot4-12|}{\sqrt{(-1)^2+2^2}} &=&\frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ &=&\frac{10\cdot\sqrt{5}}{5}=2\cdot\sqrt{5}\\ &\approx&4,4721 \end{eqnarray}

Procedura obliczania współrzędnej przecięcia

Alternatywnie możemy spróbować obliczyć współrzędne punktu B. Odległość odcinka AB będzie wtedy po prostu wynikać z wielkości wektorów lub twierdzenia Pitagorasa. W tym celu możemy użyć równania prostej q. Z ogólnego równania prostej p możemy natychmiast wyprowadzić wektor norm alny prostej p, który jest równy $\vec{\mathbf{n}}=(-1, 2)$. Ponieważ proste p i q są prostopadłe, oznacza to, że jeśli weźmiemy wektor $\vec{\mathbf{m}}$, który będzie prostopadły do wektora $\vec{\mathbf{n}}$, to ten wektor $\vec{\mathbf{m}}$ będzie wektorem normalnym prostej q.

Takim prostopadłym wektorem jest na przykład wektor $\vec{\mathbf{m}}=(2, 1)$ (możemy to sprawdzić na przykład za pomocą iloczynu skalarnego). Linia q ma zatem równanie ogólne

$$ q: 2x+y+c=0 $$

Współczynnik c obliczamy podstawiając za x i y współrzędne punktu, który na pewno leży na prostej. W naszym przypadku jest to punkt A[6,4]. Otrzymujemy:

\begin{eqnarray} 2x+y+c&=&0\\2\cdot6+4+c&=&0\c&=&-16 \end{eqnarray}

Całe równanie ogólne linii q ma postać:

$$ q: 2x+y-16=0 $$

Teraz chcemy znaleźć punkt przecięcia tych dwóch prostych. Znajdziemy przecięcie, umieszczając równania dwóch linii w układzie równań i rozwiązując go:

\begin{eqnarray} -x+2y-12&=&0\\ 2x+y-16&=&0 \end{eqnarray}

Pomnóż pierwsze równanie przez 2 i pozostaw drugie równanie bez zmian:

\begin{eqnarray} -2x+4y-24&=&0\\ 2x+y-16&=&0 \end{eqnarray}

Dodaj te dwa równania:

\begin{eqnarray} -2x+4y-24+(2x+y-18)&=&0\\4y+y-24-18&=&0\5y&=&40\y&=&8 \end{eqnarray}

yWspółrzędna - punktu B to y = 8. Wartość ta jest wstawiana do równania, na przykład −x + 2y − 12 = 0:

\begin{eqnarray} -x+2y-12&=&0\\\ -x+2\cdot8-12&=&0\\ -x+4&=&0\\ x&=&4 \end{eqnarray}

Punkt B ma współrzędne B[4, 8]. Teraz znamy współrzędne obu punktów. Łatwo jest obliczyć rozmiar odcinka linii. Możemy utworzyć wektor $\vec{AB}$ z odcinka AB i obliczyć rozmiar tego wektora.

$$ \vec{AB} = B-A=[4, 8] - [6, 4] = [-2, 4] $$

Rozmiar wektora (−2, 4) jest wtedy równy:

$$ |\vec{AB}|=\sqrt{(-2)^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{5}=2\cdot\sqrt{5}\approx4{,}4721 $$

Odniesienia i zasoby

• J. Polák: Przegląd matematyki w szkole średniej