Równania płaszczyzny

Równanie, podobnie jak linię, można wyrazić na kilka sposobów. Zaczniemy od najprostszego, parametrycznego wyrażenia płaszczyzny.

Parametryczne wyrażenie płaszczyzny

Przypomnijmy najpierw, jak wyznaczyliśmy równanie parametry czne prostej p. Wybraliśmy punkt A, który przecina prostą p, a następnie wektor kierunku $\vec{\mathbf{u}}$. Jeśli dodamy do punktu A pewną t-krotność wektora kierunku, otrzymamy pewien punkt na prostej p. Dla każdego punktu X, który leży na prostej, otrzymamy równanie

$$ X = A + t\cdot \vec{\mathbf{u}},\quad t\in \mathbb{R}. $$

W podobny sposób możemy otrzymać równanie płaszczyzny. Aby opisać płaszczyznę, potrzebujemy dwóch różnych niezerowych wektorów, które nie są współliniowe, tj. nie są równoległe, oraz oczywiście punktu A, przez który przechodzi płaszczyzna. Wektory nie mogą być współliniowe, ponieważ nie leżą na tej samej prostej. Jedna prosta nie definiuje płaszczyzny, jedna prosta może być zawarta w nieskończenie wielu płaszczyznach.

Możemy to zrobić w inny sposób - jesteśmy w stanie zdefiniować prostą za pomocą dwóch różnych punktów A, B. Punkty te są jednak przecinane przez nieskończenie wiele płaszczyzn - ale jeśli dodamy jeden odrębny punkt do tych punktów C, to mamy jednoznacznie zdefiniowaną płaszczyznę.

Tak więc, jeśli mamy trzy różne punkty A, B, C, możemy skonstruować dwa różne wektory $\vec{\mathbf{u}}=\vec{AB}$ i $\vec{\mathbf{v}}=\vec{AC}$. Te dwa wektory i, na przykład, punkt A definiują płaszczyznę. Przypomnijmy sobie dodawanie wektorów:

Widzimy, że sumując dwa wektory możemy otrzymać wektor, który ma współrzędne "pomiędzy" dwoma wektorami. Poprzez kolejne dodawanie różnych wielokrotności wektorów $\vec{\mathbf{u}}$ i $\vec{\mathbf{v}}$ jesteśmy w stanie wypełnić całą płaszczyznę. Możemy zatem napisać parametryczne wyrażenie płaszczyzny, która jest określona przez wektory $\vec{\mathbf{u}}, \vec{\mathbf{v}}$ i która przechodzi przez punkt A:

$$ X = A + t\cdot \vec{\mathbf{u}} + s\cdot \vec{\mathbf{v}}, \quad t, s \in \mathbb{R} $$

gdzie X jest jakimś punktem na płaszczyźnie. Dla każdego punktu płaszczyzny jesteśmy w stanie znaleźć takie t i s, że równanie jest prawdziwe. Nadal możemy rozbić to równanie na układ równań. Zakładamy, że X[x, y, z], A[a₁, a₂, a₃], $\vec{\mathbf{u}}=(u_1, u_2, u_3)$ i $\vec{\mathbf{v}}=(v_1, v_2, v_3)$.

\begin{eqnarray} x &=& a_1 + t \cdot u_1 + s \cdot v_1 \\ y &=& a_2 + t \cdot u_2 + s \cdot v_2 \\ z &=& a_3 + t \cdot u_3 + s \cdot v_3 \\ \end{eqnarray}

Przykład

Określ, czy punkt Q[0,3,5] lub punkt A[2,3,4], B[3,7,−1], C[−5,4,4] leży na płaszczyźnie wyznaczonej przez .

W pierwszej kolejności należy skonstruować równanie płaszczyzny. Wyznacz wektory $\vec{\mathbf{u}}$ i $\vec{\mathbf{v}}$ z $\vec{\mathbf{u}}=\vec{AB}$ i $\vec{\mathbf{v}}=\vec{AC}$. Będzie to prawda:

\begin{eqnarray} \vec{\mathbf{u}}&=&B-A=[3,7,-1]-[2,3,4]=[1,4-5]\\ \vec{\mathbf{v}}&=&C-A=[-5,4,4]-[2,3,4]=[-7,1,0] \end{eqnarray}

Równanie przechodzi przez punkt A, więc zapisujemy układ równań:

\begin{eqnarray} x &=& 2 + t \cdot 1 - s \cdot 7 \\ y &=& 3 + t \cdot 4 + s \cdot 1 \\ z &=& 4 - t \cdot 5 + s \cdot 0 \\\end{eqnarray}

Teraz sprawdzamy, czy punkt Q[0,3,5] przechodzi przez tę płaszczyznę. Robimy to po prostu wstawiając liczby 0,3,5 po x,y,z i rozwiązując układ równań. Otrzymujemy więc układ:

\begin{eqnarray} 0 &=& 2 + t \cdot 1 - s \cdot 7 \\\ 3 &=& 3 + t \cdot 4 + s \cdot 1 \\ 5 &=& 4 - t \cdot 5 + s \cdot 0 \\\end{eqnarray}

Z ostatniego równania możemy wyodrębnić t:

\begin{eqnarray} 5 &=& 4 - t \cdot 5 + s \cdot 0 \\\ 5 &=& 4 - t \cdot 5\\ 1 &=& - t \cdot 5\ t \cdot 5 &=& -1\ t &=& -\frac{1}{5} \end{eqnarray}

Wstaw t do drugiego równania:

\begin{eqnarray} 3 &=& 3 + t \cdot 4 + s \cdot 1 \\\ 3 &=& 3 - \frac{1}{5} \cdot 4 + s \cdot 1 \\\ 0 &=& -\frac{4}{5} + s \cdot 1 \\ s &=& \frac{4}{5} \end{eqnarray}

Na koniec wstawiamy wartości t i s do pierwszego równania, aby sprawdzić, czy równanie ma sens:

\begin{eqnarray} 0 &=& 2 + t \cdot 1 - s \cdot 7 \cdot 7 \cdot 0 &=& 2 - \frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{4}{5} \cdot 7 \cdot 7 \cdot 0 &=& 2 - \frac{1}{5}=& \frac{10}{5} - \frac{1}{5} - \frac{28}{5}=0 &=& -\frac{19}{5} \end{eqnarray}

Równanie nie ma sensu, cały układ nie ma tam rozwiązania, punkt Q[0,3,5] nie jest punktem płaszczyzny.