Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny jest definiowany między dwoma wektorami i odzwierciedla związek między wielkością wektorów a ich kątem.

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny jest definiowany między dwoma wektorami. Nazywamy go iloczynem normalnym, centralną kropką: $\vec{\mathbf{u}} \cdot \vec{\mathbf{v}}$ Wynik iloczynu skalarnego jest liczbą rzeczywistą, a nie wektorem. Jeśli mamy dwa wektory $\vec{\mathbf{u}}=(u_1, u_2)$ i $\vec{\mathbf{v}}=(v_1, v_2)$, to ich iloczyn skalarny jest równy:

$$\vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}=u_1v_1+u_2v_2$$

Jeśli co najmniej jeden z wektorów $\vec{\mathbf{u}}$ i $\vec{\mathbf{v}}$ jest zerem, ich iloczyn definiujemy następująco:

$$\vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}=0$$

Jakie jest geometryczne znaczenie iloczynu skalarnego? Dla iloczynu skalarnego dwóch wektorów jednocześnie zachodzi następująca zależność

$$\vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}=|\vec{\mathbf{u}}|\cdot|\vec{\mathbf{v}}|\cdot\cos\alpha,$$

gdzie α reprezentuje wielkość kątów tych wektorów. Ten wzór daje nam prosty sposób na znalezienie wielkości kąta dwóch wektorów. Jeśli wyodrębnimy cosinus z tego wzoru, otrzymamy wzór:

$$\cos\alpha=\frac{\vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}}{|\vec{\mathbf{u}}|\cdot|\vec{\mathbf{v}}|}=\frac{u_1v_1+u_2v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot\sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

Wzór ten obowiązuje na płaszczyźnie. Jeśli poruszamy się w przestrzeni, musimy dodać kolejny wymiar. W tym momencie możemy narysować geometryczne znaczenie iloczynu skalarnego.

Jeśli skalarnie pomnożymy wektory $\vec{\mathbf{u}}$ i $\vec{\mathbf{v}}$, a następnie podzielimy wynik przez długość wektora $\vec{\mathbf{v}}$, otrzymamy długość odcinka linii AD, która jest wielkością rzutu wektora $\vec{\mathbf{v}}$ w kierunku wektora $\vec{\mathbf{u}}$.

Testowanie kąta prostego

Możemy użyć iloczynu skalarnego do sprawdzenia, czy kąt między wektorami jest równy $90^{\circ}$. Kiedy iloczyn skalarny będzie równy zero? Jeśli spojrzymy na wzór...

$$\vec{\mathbf{u}}\cdot \vec{\mathbf{v}}=|\vec{\mathbf{u}}|\cdot|\vec{\mathbf{v}}|\cdot\cos\alpha$$

okazuje się, że iloczyn $|\vec{\mathbf{u}}|\cdot|\vec{\mathbf{v}}|$ prawdopodobnie zawsze będzie niezerowy (nie definiujemy kąta między wektorami zerowymi, więc mamy teraz do czynienia tylko z wektorami niezerowymi). Wielkości wektorów zawsze będą dodatnie, podobnie jak ich iloczyn. Jedynym wyrażeniem, które może sprowadzić całe wyrażenie do zera, jest cosinus. Kiedy cosinus jest równy zero? Gdy kąt jest równy $90^{\circ}$ (lub $270^{\circ}$ - ale kąt prosty będzie po drugiej stronie). Prawdą jest więc, że wektory tworzą kąt prosty tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny wynosi zero.

Przykład: rozważ następujące trzy wektory: $\vec{\mathbf{u}}_1=(-2, 4), \vec{\mathbf{u}}_2=(2, 1), \vec{\mathbf{u}}_3=(1, 4)$. Które z nich są do siebie prostopadłe? Oblicz iloczyn skalarny wszystkich wektorów po kolei: hello

$$\begin{eqnarray} \vec{\mathbf{u}}_1\cdot \vec{\mathbf{u}}_2=-2\cdot2+4\cdot1&=&0\\ \vec{\mathbf{u}}_1\cdot \vec{\mathbf{u}}_3=-2\cdot1+4\cdot4&=&14\\ \vec{\mathbf{u}}_2\cdot \vec{\mathbf{u}}_3=2\cdot1+1\cdot4&=&6 \end{eqnarray}$$

Zgodnie z iloczynem skalarnym, kąt prosty występuje tylko między wektorami $\vec{\mathbf{u}}_1$ i $\vec{\mathbf{u}}_2$. Można zobaczyć rysunek z tymi wektorami:

Spróbujmy jeszcze obliczyć kąt pomiędzy wektorami $\vec{\mathbf{u}}_1$ i $\vec{\mathbf{u}}_3$. Wystarczy podstawić do wzoru:

$$\begin{eqnarray} \cos\alpha&=&\frac{-2\cdot1+4\cdot4}{\sqrt{(-2)^2+4^2}\cdot\sqrt{1^2+4^2}}\\ &=&\frac{-2+16}{\sqrt{20}\cdot\sqrt{17}}\\ &=&\frac{14}{\sqrt{340}}\\ &\approx&\frac{14}{18.439} \end{eqnarray}$$

Jeśli obliczymy cosinus łuku, otrzymamy wielkość kąta. Wynikiem jest kąt o przybliżonej wielkości $40^{\circ}$.