Kostki nieprzechodnie

Wyobraź sobie, że masz trzy sześciościenne kostki, na których znajdują się dowolne liczby. Czy jest możliwe, że kostka A ma większe prawdopodobieństwo wyrzucenia większej liczby niż kostka B, kostka B ma większe prawdopodobieństwo wyrzucenia większej liczby niż kostka C, a kostka C ma większe prawdopodobieństwo wyrzucenia większej liczby niż kostka A?

Przechodniość

Przechodniość jest pojęciem pochodzącym z relacji binarnych. Mówimy, że sesja R na M jest przechodnia, jeśli dla wszystkich a, b, c ∈ M zachodzi, że jeśli [a, b] ∈ R i również [b, c] ∈ R, to [a, c] jest w R.

W przypadku kości możemy mieć sesję "bądź lepszą kością" w tym sensie, że kość A jest lepsza niż kość B, jeśli A wyrzuca wyższą liczbę częściej niż B. Wtedy przechodniość będzie wyglądać następująco: jeśli A jest lepsza niż B i jednocześnie B jest lepsza niż C, to A musi być również lepsza niż C. Czy to prawda?

Spróbujmy znaleźć kontrprzykład, czyli trzy kostki, które są cyklicznie lepsze. Kostka A będzie lepsza od kostki B, kostka B będzie lepsza od kostki C, a kostka C będzie lepsza od kostki A. Zawsze bierzemy pod uwagę tylko kostki sześciościenne.

Przykład

Te trzy kostki są przykładem:

• A: 2, 2, 4, 4, 9, 9,
• B: 1, 1, 6, 6, 8, 8,
• C: 3, 3, 5, 5, 7, 7.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że kostka A wyrzuci większą liczbę oczek niż kostka B? Istnieje łącznie 36 różnych par sposobów, w jakie mogą wypaść kości. Jeśli kość B wyrzuci 1 jako pierwsza, kość A zawsze wyrzuci większą liczbę. Oznacza to, że mamy 6 par, w których na kości A wypadnie wyższa liczba. Jeśli druga 1 zostanie wyrzucona na B, mamy więcej par 6, w których wyższa liczba zostanie wyrzucona na A. Jeśli jedna z szóstek zostanie wyrzucona, jedna z dziewiątek musi zostać wyrzucona na A. Są to pozostałe możliwości 4. Jeśli wypadnie jedna z ósemek, jedna z dziewiątek musi wypaść na A. Ponownie, 4 możliwości. W sumie mamy 6 + 6 + 4 + 4 = 20 możliwości. Prawdopodobieństwo, że wyższa liczba wypadnie na A wynosi 20/36 = 5/9, czyli w przybliżeniu 55 %.

Teraz B vs. C. Jeśli jedna z trójek wypadnie na C, jedna z szóstek lub jedna z ósemek musi wypaść na B. Łącznie daje to 2 · 4 = 8 możliwości. Jeśli wyrzucona zostanie piątka, ponownie B musi wyrzucić 6 lub 8, więc ponownie 8 możliwości. Jeśli wyrzucona zostanie siódemka, ósemka musi wypaść na B, 4 możliwości. Suma wynosi 8 + 8 + 4 = 20. Prawdopodobieństwo ponownie wynosi 5/9.

Wreszcie, C vs. A. Jeśli dwójka wypadnie na A, wszystko od C jest wyższe. To daje 12 możliwości. Jeśli trafi się czwórka, C może trafić na 5 lub 7. To daje 8 możliwości. Jeśli padnie dziewiątka, nie mamy szczęścia. W sumie daje to 12 + 8 = 20 możliwości i ponownie otrzymujemy prawdopodobieństwo 5/9.

Kostki Efrona

Kostki Efrona to kolejny przypadek zestawu kostek, które nie są przechodnie w odniesieniu do sesji będącej lepszą kostką. Mają one następujące numery:

• A: 4, 4, 4, 4, 0, 0,
• B: 3, 3, 3, 3, 3, 3
• C: 6, 6, 2, 2, 2, 2
• D: 5, 5, 5, 1, 1, 1

W ten sposób kość bije następną kość zawsze z prawdopodobieństwem 2/3. Na przykład, w momencie wyrzucenia czwórki na kostce A, wygrywa ona z kostką B. W momencie wyrzucenia zera przegrywa. Na kości A wyrzucona zostanie czwórka z prawdopodobieństwem 2/3. Podobnie jest w przypadku innych kości.

Istnieją inne odmiany kości Efrona. Te, które mają taką samą średnią wartość na rzut (na przykład kość A rzuca średnio liczbą 8/3, podczas gdy C ma wyższą średnią, 10/3) lub te, które dzielą między siebie wszystkie liczby naturalne od 1 do 24.

Inne zasoby

• Angielska Wikipedia