Paradoks znaku zapytania

W ten sposób były prezes CEZ Martin Roman i genialny czeski polityk Václav Klaus poznali się podczas wakacji w Dubaju. Po kilku butelkach wybornego słomkowego wina zaczęli się zakładać o to, kto ma droższy krawat.

Enter

Jak już wiemy, po kilku butelkach wina Martin i Václav zaczynają zakładać się o to, kto ma droższy krawat. Krawat ten został im podarowany przez żony na Boże Narodzenie i nawet nie wiedzą, ile kosztuje. Dokładne sformułowanie zakładu jest następujące: pytają swoje żony o cenę, a ten, kto ma tańszy krawat, dostaje krawat drugiego faceta. Jeśli więc Václav ma tańszy krawat niż Martin, Václav dostaje krawat Martina. I na odwrót. Pierwsze pytanie brzmi: czy któryś z nich ma przewagę? Czy każdemu z nich opłaca się przyjąć zakład, czy też szanse są dokładnie takie same dla obu?

Pseudorozwiązanie

Być może tak. Dalej założymy, że cena remisów jest inna. Nie zmienia to rozwiązania, ponieważ gdyby cena była taka sama, nikt nie dostałby niczyjego remisu. Wliczam się w to: Wacław ma krawat, który kosztuje X koron. Nie wie nic o krawacie Marcina, ani nie ma żadnych innych wskazówek, więc prawdopodobieństwo, że ma tańszy krawat wynosi 50 %, prawdopodobieństwo, że ma droższy krawat również wynosi 50 %. Jeśli więc Wacław ma droższy krawat, traci X koron. Ale jeśli ma tańszy krawat, zyska więcej niż X koron. Oba z prawdopodobieństwem 50 %: ma 50% szansę na utratę X koron i 50% szansę na zyskanie więcej niż X koron.

Tak więc, z tym samym prawdopodobieństwem, może wygrać więcej pieniędzy (droższy krawat) niż stracić. I to się opłaca! Wygląda na to, że sprawy idą bardzo dobrze dla Václava i że lepiej jest przyjąć zakład. Ma więcej do zyskania niż do stracenia.

Ale, jak można się domyślić, Martin może dokonać tej samej kalkulacji. Martin również ma 50% szans na przegranie remisu wartego Y i 50% szans na wygranie remisu wartego więcej niż Y.

Oczywiście nie jest możliwe, aby przy tym samym zakładzie obaj uczestnicy mieli przewagę; coś musi być nie tak.

Rozwiązanie

Najpierw ustalmy, kto tak naprawdę może wygrać. Ustalmy konkretne kursy remisowe. Przyjmijmy dla uproszczenia, że są tylko dwa remisy, wycenione na 3000 i 4000 koron. Wtedy, z punktu widzenia Vaclava, mogą wystąpić następujące przypadki:

• Václav ma krawat w cenie 3000, a Martin ma krawat w cenie 4000 $\rightarrow$ Václav uzyskał 4000.
• Václav ma remis na 4000, a Martin na 3000 $\rightarrow$ Václav stracił 4000.

(To, że mieli remisy za tę samą cenę, wykluczyliśmy, ale nie byłoby to konieczne - wtedy żaden z nich by nie wygrał).

Jak widać, gra zawsze toczy się o te same pieniądze, Václav może albo zyskać 4000, albo stracić 4000. Oczywiście jest to niezależne od konkretnego kursu, jeśli umieścisz tam kwoty 250 i 350, zawsze będzie to gra o 350 koron. Nie warto więc wchodzić (lub nie wchodzić) w zakład, jeśli nie ma się dodatkowych informacji.

Gdybyśmy mieli w sumie trzy różne remisy, powiedzmy dla 2000, 3000 i 4000, otrzymalibyśmy nieco więcej takich możliwości. Najpierw Wacław wygrywa, potem Wacław przegrywa:

• Václav uzyskał remis dla 2000, a Martin uzyskał remis dla 3000 $\rightarrow$ Václav uzyskał 3000.
• Václav uzyskał remis na 2000, a Martin uzyskał remis na 4000 $\rightarrow$ Václav uzyskał 4000.
• Václav uzyskał remis na 3000, a Martin uzyskał remis na 4000 $\rightarrow$ Václav uzyskał 4000.
• Václav uzyskał remis na 3000, a Martin uzyskał remis na 2000 $\rightarrow$ Václav stracił 3000.
• Václav uzyskał remis dla 4000 a Martin uzyskał remis dla 2000 $\rightarrow$ Václav stracił 4000.
• Václav zremisował na 4000, a Martin na 3000 $\rightarrow$ Václav przegrał 4000.

Wszystkie możliwości są równie prawdopodobne. Jak widać, Václav może zyskać dokładnie tyle pieniędzy, ile może stracić w tym samym czasie. Podobne tabele otrzymalibyśmy dla jeszcze większej liczby remisów, zawsze byłoby prawdą, że Václav może stracić pieniądze, które może zyskać w tym samym czasie. A ponieważ wszystkie możliwości są równie prawdopodobne, żaden z uczestników nie jest w niekorzystnej sytuacji.

Głównym błędem popełnionym przez Václava było to, że liczył na stałą cenę za swój krawat. Nie może tego zrobić, ponieważ, jak widać w przykładzie z dwoma remisami, cena jego krawata w przypadku przegranej była inna niż cena jego krawata w przypadku wygranej. Podobnie w kolejnym przykładzie z trzema remisami, gdy Wacław wygrał, cena jego krawata pochodziła ze zbioru {2000, 3000}, ale gdy przegrał, cena pochodziła ze zbioru {3000, 4000}. Jednak Wacław nadal liczył na stałą kwotę.