Paradoks Petersburga
Kapitoly: Problem trzech drzwi, Probabilistyczny paradoks kłamcy, Paradoks znaku zapytania, Paradoks Simpsona, Paradoks medyczny, Paradoks Petersburga, Kostki nieprzechodnie
Paradoks petersburski łączy w sobie statystykę, podejmowanie decyzji i prawdopodobieństwo. W Petersburgu mamy kasyno, które oferuje nam grę, w której możemy wygrać określoną kwotę pieniędzy. Naszym zadaniem jest ustalenie, jaka byłaby uczciwa opłata za wstęp do tej gry.
Zasady gry
Jeśli wejdziemy do gry, operator zacznie rzucać monetą. Jeśli w pierwszym rzucie wypadnie orzeł, gra kończy się, a my wygrywamy jedno euro. Jeśli wypadnie reszka, gra jest kontynuowana. W drugiej rundzie moneta jest rzucana ponownie. Jeśli wypadnie orzeł, gra kończy się i wygrywamy dwukrotność poprzedniej możliwej nagrody, czyli dwa euro. Jeśli wypadnie reszka, kontynuujemy. Jeśli w trzeciej rundzie wypadnie orzeł, wygrywamy cztery euro. Jeśli wypadnie w czwartej rundzie, wygrywamy osiem euro.
Uogólniając - jeśli głowa wypadnie w k-tej rundzie, to wygraliśmy 2k − 1 euro. Pytanie brzmi teraz, jaka byłaby uczciwa opłata za wstęp do tej gry?
Wartość oczekiwana
Uczciwa cena powinna opierać się na wartości oczekiwanej (średniej). Na przykład, jeśli średnio możemy wygrać sto euro, cena wejściowa powinna wynosić sto euro lub nieco więcej, aby kasyno osiągnęło zysk. Ale jaka jest wartość oczekiwana w naszej grze? Rozbijmy szczegóły, dzięki którym możemy uzyskać każdą wygraną. W pierwszej kolumnie znajdują się nagrody, a w drugiej nasza szansa na zdobycie tej nagrody. Na przykład szansa na wyrzucenie reszki przy pierwszym rzucie wynosi $\frac12$. Szansa na wyrzucenie najpierw reszki, a następnie reszki wynosi $\frac14$. itd.
$$\begin{array}{cc} 1&1/2\\ 2&1/4\\ 4&1/8\\ 8&1/16\\ 16&1/32\\ …&… \end{array}$$
Jak obliczyć średnią? Mnożymy kwotę, którą możemy uzyskać, przez prawdopodobieństwo uzyskania tej kwoty i dodajemy wszystko do siebie. Otrzymujemy:
$$\begin{eqnarray} E&=&\frac12\cdot1+\frac14\cdot2+\frac18\cdot4+\frac{1}{16}\cdot8+\ldots\\ &=&\frac12+\frac12+\frac12+\frac12+\ldots\\ &=&\sum_{k=1}^{\infty}\frac12=\infty \end{eqnarray}$$
Wartość oczekiwana wynosi nieskończoność. Średnia wartość nagrody wynosi zatem, w wyidealizowanym przypadku, nieskończenie wiele euro. Nie wygląda to źle. Problem polega na tym, że w tym samym czasie wejście powinno być równe nieskończoności. To oczywiście nonsens.
Krytycy tego paradoksu argumentują oczywiście, że nie da się grać nieskończenie długo, nie da się wygrać nieskończenie dużo pieniędzy, a nawet jeśli "zredukujemy" liczbę maksymalnych rzutów monetą z nieskończoności do jakiejś skończonej liczby n, to i tak dość szybko dojdziemy do kwot, których nie ma nikt na świecie. Na przykład, po 41 rzutach wygrałbyś już 240 euro, czyli około biliona euro (tysiąc miliardów euro). Po kolejnych dziesięciu rzutach wygrałbyś tysiąc razy więcej pieniędzy.
Ostateczne wpisowe
Oczywiście nikt nie da ci nieskończonej liczby euro w ramach wpisowego. Paradoks można jednak częściowo zademonstrować za pomocą skończonej kwoty pieniędzy. Dla każdej całej kwoty euro istnieje maksymalna liczba rzutów monetą, dla których średnia wartość wynosi tyle, ile potrzebujemy. Na przykład, jeśli chcemy mieć wkład w wysokości 1000 euro, mówimy, że maksymalna liczba rzutów monetą wynosi 2000. Następnie obliczamy taką kwotę:
$$\sum_{k=1}^{2000}\frac12=2000\cdot\frac12=1000$$
Średnia wartość wyniesie wtedy 1000 euro. Jeśli chcemy mieć wpisowe w wysokości D euro, to mówimy, że maksymalna liczba rzutów monetą wynosi 2D.
Ale oczywiście żadna rozsądna osoba nie zapłaci wpisowego w wysokości, powiedzmy, tysiąca euro, jeśli ma absolutnie minimalne szanse na wygranie więcej niż tysiąca euro.