Twierdzenie dwumianowe
Twierdzenie dwumianowe jest uogólnieniem klasycznych formuł takich jak (a + b)2 przy użyciu technik kombinatorycznych.
Motywacja
Z pewnością znasz wzory na obliczanie (a + b)2 lub (a + b)3:
$$\begin{eqnarray} (a+b)^2&=&a^2+2ab+b^2\\ (a+b)^3&=&a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{eqnarray}$$
Naturalnym pytaniem jest, czy tych wzorów nie można uogólnić na dowolną liczbę naturalną n, tj. czy można obliczyć (a + b)n?
Pochodna
Oczywiście, że można, a twierdzenie dwumianowe służy właśnie do tego. Spróbujmy zobaczyć, jak ten rozwój będzie przebiegał dalej dla n = 4 i n = 5.
$$\begin{eqnarray} (a+b)^4 &=& a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\\ (a+b)^5&=&a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5 \end{eqnarray}$$
Powinieneś już zobaczyć określony wzór. Jeśli mamy wyrażenie (a + b)n, zawsze zaczynamy od członu an po prawej stronie. Drugi człon również zawiera zmienną a, ale wykładnik jest o jeden mniejszy. Dla przykładu: dla rozkładu (a + b)4, mamy a4 w pierwszym członie po prawej stronie i a3 w drugim członie. Każdy kolejny człon zawiera zmienną a z wykładnikiem o jeden niższym niż poprzedni człon. Z drugiej strony zmienna b jest rosnąca. Na początku nie mamy zmiennej b lub mamy, ale z wykładnikiem zero: b0 = 1 W drugim członie b ma wykładnik jeden, potem dwa itd.
W tym wszystkim obowiązuje prosta zasada, że suma wykładników musi być zawsze równa n. Jeśli weźmiemy pod uwagę ostatni rozkład (a + b)5, to na przykład trzecim członem jest 10a3 · b2, a suma wykładników zmiennych a i b wynosi tylko 5.
Ostatnią kwestią jest to, jakie będą współczynniki (liczby przed zmiennymi) dla każdego wyrażenia. Zauważysz, że współczynniki są symetryczne: dla (a + b)4 mamy współczynniki 1,4,6,4,1, dla (a + b)5 mamy: 1, 5, 10, 10, 5, 1 Przypominam, że a4 = 1 · a4, dlatego piszę tam jedynkę, mimo że nie wspominam o tym wprost we wzorach. Następną zależność pokażemy na trójkącie Pascala.
Trójkąt Pascala
TrójkątPascala jest przydatnym narzędziem do obliczania rozwinięć za pomocą twierdzenia dwumianowego. Trójkąt Pascala składa się z liczb i prawdą jest, że liczba, która znajduje się poniżej dowolnych dwóch innych liczb, jest równa ich sumie. Brzmi to zawile, ale sam trójkąt to wyjaśni:
Spójrzmy na przykład na liczbę cztery. Powyżej tej liczby znajdują się liczby 1 i 3. A suma 1+3 daje właśnie 4. Podobnie dla innych liczb.
A jak wykorzystać trójkąt Pascala? Jeśli spojrzymy na liczby w każdym wierszu, zauważymy, że wyglądają one bardzo podobnie do współczynników w wynikowym rozwinięciu dwumianowym. Na przykład dla (a + b)2 mamy współczynniki 1,2,1, czyli dokładnie drugą linię. Dla (a + b)4 mamy współczynniki 1,4,6,4,1, czyli dokładnie czwartą linię. Jeśli chcemy obliczyć (a + b)n, wystarczy spojrzeć na n- trzecią linię trójkąta Pascala.
Definicja twierdzenia dwumianowego
Formalnie, twierdzenie dwumianowe brzmi następująco:
$$ (a+b)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k}b^k\qquad a,b\in\mathbb{R}; n\in\mathbb{N} $$
Obliczamy sumę od zera do n włącznie. Tak więc wynikowa liczba dodatków wynosi n + 1. Rzecz w nawiasach to liczba kombinatoryczna, która jest kombinatoryką i reprezentuje liczbę różnych kombinacji, z których możemy uzyskać dany termin rozwinięcia dwumianowego. Reszta to po prostu zmienne z odpowiednimi wykładnikami. Zauważ, że suma wykładników jest tak naprawdę równa n: n − k + k = n.
Przykłady
Prosty przykład: obliczenie za pomocą twierdzenia dwumianowego (a + 2b)4. Najpierw patrzymy na trójkąt Pascala w czwartej linii. To mówi nam, że współczynniki będą miały postać: 1,4,6,4,1 Teraz pozostaje tylko dodać wykładniki jeden po drugim. Pierwszym wyrażeniem będzie po prostu a4:
$$(a+2b)^4=a^4+\ldots$$
W drugim wyrazie mamy wykładniki rozłożone na pary 3,1, więc otrzymujemy a3(2b)1. Wykładnik w pierwszym wyrazie nie ma żadnego wpływu na wyrażenie, więc możemy napisać a32b. Współczynnik w drugim wyrazie wynosi 4:
$$(a+2b)^4=a^4+4a^32b+\ldots$$
Trzeci wyraz będzie miał wykładniki 2,2. Trochę ostrożnie, mnożymy całość 2b, więc jest to: (2b)2, co równa się: (2b)2 = 4b2 Dodajemy do rozwinięcia współczynnik 6:
$$(a+2b)^4=a^4+4a^32b+6a^24b^2+\ldots$$
Czwarty wyraz będzie miał postać a(2b)3. Po potęgowaniu otrzymamy a8b3. Dodajemy go ze współczynnikiem 4:
$$(a+2b)^4=a^4+4a^32b+6a^24b^2+4a8b^3+\ldots$$
Ostatni wyraz będzie miał postać (2b)4 = 16b4:
$$(a+2b)^4=a^4+4a^32b+6a^24b^2+4a8b^3+16b^4.$$
Teraz musimy tylko nieco zmodyfikować. W członie 4a32b możemy umieścić 2 na początku członu i pomnożyć przez 2 · 4 = 8. W ten sposób otrzymamy 8a3b. Jeśli zrobimy to samo dla reszty, otrzymamy wynik:
$$(a+2b)^4=a^4+8a^3b+24a^2b^2+32ab^3+16b^4.$$
Należy pamiętać, że w tym momencie współczynniki nie odpowiadają już liczbom w trójkącie Pascala.