Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo zjawiska losowego mówi nam, jak bardzo prawdopodobne jest, że dane zjawisko wystąpi. Typowym przykładem może być rzut klasyczną kostką do gry. Możemy zapytać "jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby pięć?". Prawdopodobieństwo podajemy albo jako liczbę z przedziału <0, 1> lub używając wartości procentowych, tj. od 0% do 100%.

Powiązane definicje

Każde powtarzające się działanie, które zależy od przypadku, nazywane jest eksperymentem losowym. Na przykład, rzut kostką lub losowanie karty sportowej jest eksperymentem losowym. Następnie potrzebujemy zbioru wszystkich możliwych wyników eksperymentu losowego - czyli wszystkich możliwości, które mogą wystąpić w danym eksperymencie losowym. Na przykład, na kości mogą pojawić się liczby od jednego do sześciu, więc zbiór prób losowych, który oznaczymy jako $\omega$ (omega), wyglądałby następująco dla kości: $\omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ W przypadku sportu byłyby to wszystkie kombinacje, które mogą wypaść.

Każdy podzbiór $A \subseteq \omega$ nazywamy (losowym) zjawiskiem. Na przykład zjawisko "wyrzucenia na kości liczby parzystej" byłoby zapisane jako A = {2, 4, 6}. Zjawisko "wyrzucenia na kości liczby większej niż pięć" byłoby zapisane jako A = {6}, i tak dalej. Jeśli rzucimy kostką (= wykonamy eksperyment) i na kostce wypadnie liczba x, to jeśli x ∈ A, powiemy, że zjawisko wystąpiło, w przeciwnym razie powiemy, że zjawisko nie wystąpiło. Jeśli pozostaniemy przy zjawisku "parzysta liczba wypada na kostce" i otrzymamy x = 2, to x ∈ A, a następnie 2 ∈ {2, 4, 6} i zjawisko wystąpiło.

Istnieją dwa szczególne rodzaje zjawisk: pewne i niemożliwe. Zjawisko pewne występuje w każdej próbie, co oznacza, że $A = \omega$. W przypadku kości byłoby to zjawisko "wyrzucono liczbę mniejszą niż 7". To zjawisko pewne. Przeciwieństwem jest zjawisko niemożliwe, byłoby to A = ∅ i werbalnie np. "doniczka spada na kość". Cóż, doniczka może spaść ze stołu podczas rzutu kostką, ale na pewno nie spadnie z doniczki na kostkę, ponieważ są tylko liczby od 1 do 6.

Prawdopodobieństwo zjawiska

Prawdopodobieństwo zdarzenia mówi nam o tym, jak bardzo możemy spodziewać się jego wystąpienia. Prawdopodobnie wszyscy podejrzewamy, że liczba parzysta wypadnie na kostce częściej niż bezpośrednio liczba pięć. Prawdopodobieństwo przekłada to przeczucie na dokładne liczby. Pierwszą rzeczą, jaką zrobimy, jest przyjęcie pewnych założeń.

Niech następujące założenia będą prawdziwe dla losowego eksperymentu:

• Wszystkich możliwych wyników jest skończenie wiele (tj. $\omega$ jest zbiorem skończonym).
• Dwa wyniki nie mogą wypaść w tym samym czasie (tj. nie możemy wyrzucić 3 i 6 na kości w tym samym czasie).
• Każdy wynik jest równie możliwy (tj. mamy taką samą szansę na wyrzucenie 4 na kości, jak na wyrzucenie 6 lub 1).

Pierwsze dwa warunki są dość naturalne, ostatni jest nieco restrykcyjny, ale na razie wystarczy. Możemy zatem powiedzieć, że prawdopodobieństwo wystąpienia zjawiska A, oznaczanego jako P(A), jest równe

$$P(A) = \frac{|A|}{|\omega|}.$$

Innymi słowy: liczba korzystnych wyników podzielona przez liczbę wszystkich wyników. (Ukośniki w poprzednim wzorze oznaczają rozmiar zbioru.) Tak więc prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby na kości byłoby równe:

$$ P(Sude) = \frac{|{2{,}4,6}|}{|{1{,}2,3{,}4,5{,}6}|}=\frac36=\frac12=0{,}5. $$

Często podajemy prawdopodobieństwo w procentach - po prostu bierzemy obliczone prawdopodobieństwo, mnożymy przez 100 i dodajemy procenty: 0,5 · 100 % = 50 % Pięćdziesięcioprocentowe prawdopodobieństwo mówi nam, że mamy tyle samo szans na wyrzucenie liczby parzystej, co na jej niewyrzucenie. Ma to sens, jeśli mamy trzy parzyste i trzy nieparzyste liczby na kości.

Zdarzenie pewne ma prawdopodobieństwo 1, zdarzenie niemożliwe 0. Dlaczego? Powiedzieliśmy, że dla pewnego zjawiska J $J = \omega$ zachodzi, a dla niemożliwego zjawiska N N = ∅ zachodzi. Jeśli podstawimy je do wzoru, otrzymamy:

$$ P(J) = \frac{|\omega|}{|\omega|} = 1;\qquad P(N)=\frac{|\emptyset|}{|\omega|}=\frac{0}{|\omega|}=0. $$

Rozwiązane przykłady

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na kostce wypadnie liczba pięć? To proste, zbiór wszystkich korzystnych zjawisk to po prostu A = {5}, zbiór wszystkich zjawisk to nadal $\omega = {1,2,3,4,5,6}$. Podstawiamy do wzoru:

   $$ P(A) = \frac{|{5}|}{|{1{,}2,3{,}4,5{,}6}|}=\frac16=16{,}666… \% $$

2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzucimy na kostce liczbę podzielną przez trzy? Musimy dowiedzieć się, które liczby na kości są podzielne przez trzy. Są to tylko liczby 3 i 6, więc zbiór dopuszczalnych zjawisk to B = {3, 6}. Następnie, klasycznie:

   $$ P(B) = \frac{|{3, 6}|}{|{1{,}2,3{,}4,5{,}6}|}=\frac26=\frac13=33{,}333… \% $$

3. Teraz spróbujmy rzucić dwiema kostkami jednocześnie. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki na obu kostkach? Pierwszą rzeczą, którą musimy zrobić, jest obliczenie $\omega$, czyli zbioru wszystkich zjawisk. Musimy obliczyć wszystkie możliwości, które mogą wystąpić. Tak więc, jeśli wyrzucimy 1 na pierwszej kości, możemy wyrzucić od 1 do 6 na drugiej kości. To daje nam sześć możliwości. Jeśli liczba 2 wypadnie na pierwszej kości, liczby od 1 do 6 mogą wypaść ponownie na drugiej kości; w ten sposób znaleźliśmy sześć kolejnych możliwości. I tak dalej dla wszystkich liczb, które mogą wypaść na pierwszej kości. Wszystkie możliwości wyglądają zatem następująco:

   $$\begin{eqnarray} &\omega=&[1{,}1], [1{,}2], [1{,}3], [1{,}4], [1{,}5], [1{,}6], \\ &&[2{,}1], [2{,}2], [2{,}3], [2{,}4], [2{,}5], [2{,}6], \\ &&\ldots\\ &&[6{,}1], [6{,}2], [6{,}3], [6{,}4], [6{,}5], [6{,}6] \end{eqnarray}$$

   Mamy w sumie sześć rzędów, a w każdym rzędzie mamy sześć możliwości. W sumie mamy 6 · 6 = 36 możliwości, które mogą wypaść na kostce. Ile z nich znajdzie się jednocześnie w zbiorze korzystnych wyników? Tylko jedna możliwość, a mianowicie [6, 6], ponieważ chcemy, aby wypadły dwie szóstki. Otrzymujemy więc prawdopodobieństwo:

   $$ P(C) = \frac{|{[6, 6]}|}{|\omega|}=\frac{1}{36}=2{,}777… \% $$

4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli rzucimy dwiema kostkami, to na obu wypadnie ta sama liczba? Liczba wszystkich możliwych wyników nadal wynosi 36, patrz poprzedni przykład. Ale ile jest korzystnych wyników? Tylko w sześciu przypadkach na obu kostkach wypadnie ta sama liczba: D = {[1, 1], [2, 2], …, [6, 6]}:

   $$ P(D) = \frac{|D|}{|\omega|}=\frac{6}{36}=\frac16=16{,}666… \% $$

5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli rzucimy dwiema kośćmi, białą i czarną, to na białej wypadnie 3, a na czarnej 5? Rozmiar $\omega$ nadal wynosi 36. Jak wygląda zbiór korzystnych zjawisk E? Zawiera tylko możliwość [3, 5], więc prawdopodobieństwo jest równe

   $$ P(E) = \frac{|E|}{|\omega|}=\frac{1}{36}=2{,}777… \% $$

6. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli rzucimy dwiema kośćmi, białą i czarną, to wypadną liczby 3 i 5? Ten przykład jest podobny do poprzedniego, z tym wyjątkiem, że nie wymagamy, aby liczba 3 wypadła na białej kości, a liczba 5 na czarnej. Krótko mówiąc, liczba 3 musi wypaść na jednej z kości, a liczba 5 musi wypaść na pozostałych kościach. Daje nam to więcej możliwości: oprócz [3, 5] mamy również możliwość [5, 3]. Prawdopodobieństwo tego zjawiska F jest więc równe:

   $$ P(F) = \frac{|F|}{|\omega|}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}=5{,}555… \% $$

7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzucimy co najmniej jedną 6 podczas rzutu dwiema kostkami? Po kolei: jeśli na pierwszej kości wyrzucimy szóstkę, to na drugiej kości mogą wypaść liczby od 1 do 5. To pięć możliwości. Jeśli na drugiej kości wypadnie szóstka, na pierwszej kości mogą wypaść liczby od 1 do 5. To kolejne pięć możliwości. Wreszcie, szóstka może wypaść na obu kościach - to jeszcze jedna możliwość. W sumie mamy 5 + 5 + 1 = 11 możliwości. Tak więc zbiór dopuszczalnych G zjawisk wygląda następująco: G = {[6, 1], [6, 2], [6, 3], [6, 4], [6, 5], [1, 6], [2, 6], [3, 6], [4, 6], [5, 6], [6, 6]} Otrzymujemy prawdopodobieństwo:

   $$ P(G) = \frac{|G|}{|\omega|}=\frac{11}{36}=30{,}555… \% $$

8. W klasie jest 30 uczniów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że uczeń Andrzej zostanie odwołany z historii, jeśli nauczycielka zawsze sprawdza dwóch uczniów w klasie i nikt nie został jeszcze odwołany? Aby obliczyć prawdopodobieństwo, musimy obliczyć, ile jest różnych par uczniów i ile jest różnych par uczniów, w których jednym z nich jest Andrzej. Ponieważ kolejność, w jakiej uczniowie są wywoływani przez panią, nie ma znaczenia, użyjemy kombinacji.

   Teraz wszystko jest proste. Mamy w sumie 30 uczniów i pytamy, ile różnych par możemy połączyć. To doprowadzi nas do liczby kombinacji

   $$ {30 \choose 2} = 435 $$

   A ile par ma Andrzej? Jeśli jednym z nich jest Andrzej, to pozostaje 29 uczniów, z którymi Andrzej może utworzyć parę (nie może utworzyć pary z samym sobą, więc 30-1=29). Teraz znamy liczbę wszystkich możliwości i liczbę korzystnych możliwości, więc podstawiamy je do wzoru:

   $$ P(H) = \frac{29}{435}=0{,}0666\ldots=6{,}666… \% $$

   Uwaga: liczbę wszystkich par można obliczyć bez kombinacji. Jak możemy utworzyć wszystkie pary, jeśli mamy klasę 30 uczniów? Biorąc po jednym uczniu i dodając po kolei wszystkich pozostałych uczniów. Oznacza to, że bierzemy na przykład Marcina i dodajemy wszystkich pozostałych uczniów do jego pary, czyli tworzymy 29 par. W ten sposób postępujemy z każdym uczniem, tj. ze wszystkimi 30 uczniami. Otrzymamy łącznie 30 · 29 = 870 par. Jednak każda para istnieje dwa razy, raz mamy parę [Martin, Jana], a drugi raz [Jana, Martin] (w zależności od tego, czy Martin był tym, do którego dopasowano resztę klasy, czy tym, który był aktualnie dopasowany do Jany). Dzielimy więc ten wynik przez dwa i otrzymujemy wynik końcowy: 870 / 2 = 435.

9. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia trzech butów na lewą stopę z szafy zawierającej dwanaście par butów? To taki wygodny przykład z życia wzięty, na pewno przydał Ci się. Zaczynamy od policzenia, ile różnych trójek możemy wyciągnąć z półki na buty w pierwszej kolejności. Będziemy do tego potrzebować kombinacji, ponieważ nie ma znaczenia w jakiej kolejności wyciągniemy buty. Mamy w sumie 24 buty i chcemy wyciągnąć 3. Otrzymujemy liczbę kombinacji:

   $$ {24 \choose 3} = 2024 $$

   To mówi nam, że istnieją w sumie 2024 różne kombinacje trzech butów, które możemy wyciągnąć z pudełka z butami. Teraz musimy obliczyć, które kombinacje są korzystne, tj. które kombinacje trzech butów zawsze zawierają but na lewą stopę. Wiemy, że w pudełku znajduje się łącznie 12 butów na lewą stopę. Obliczamy więc, ile kombinacji tych 12 butów możemy stworzyć. To znów prowadzi do liczby kombinacji:

   $$ {12 \choose 3} = 220 $$

   Istnieje 220 kombinacji, które zawsze zawierają tylko but na lewą stopę. To wszystko, co musimy wiedzieć, teraz wystarczy podstawić to do wzoru:

   $$ P(I) = \frac{220}{2024}=0{,}108695=10{,}8695 \% $$

   Mamy około dziesięciu procent szans na wyciągnięcie trzech butów, wszystkie na lewą stopę.