Odległość punktu od płaszczyzny

Odległość punktu od płaszczyzny jest równa długości "najkrótszego" odcinka poprowadzonego z tego punktu do płaszczyzny.

Przyporządkowanie

Mamy płaszczyznę określoną ogólnym równaniem r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 i punkt X[5, 7, 2]. Pytamy, jaka jest odległość punktu X od płaszczyzny r. Wykreślilibyśmy ją na rysunku w następujący sposób:

Na rysunku mamy płaszczyznę ABCD i punkt X. Rozmiar odcinka XF określa odległość punktu X od płaszczyzny. Ta prosta jest ponownie prostopadła do płaszczyzny, więc jest to najmniejsza odległość punktu od płaszczyzny. (Rysunek nie pokazuje płaszczyzny r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0, ani punktu X[5, 7, 2], tylko ogólnie odległość punktu od płaszczyzny).

Rozwiązanie za pomocą wzoru

Możemy użyć prawie takiego samego wzoru, jak w przypadku obliczania odległości punktu od prostej, wystarczy dodać kolejny wymiar. Obliczamy więc odległość punktu X[x₁, x₂, x₃] od płaszczyzny r: ax + by + cz + d = 0 jako

$$ v(X, r) = \frac{|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} $$

Odniesienia i zasoby

• J. Polák: Przegląd matematyki w szkole średniej