Zjawisko komplementarności

Zjawisko komplementarne może być czasami używane podczas obliczania prawdopodobieństwa zjawiska. Zjawiskiem komplementarnym do zjawiska A jest zjawisko A', które zawiera wszystkie możliwe wyniki, które mogą wystąpić, ale nie znajdują się w zjawisku A.

Definicja

Definicje eksperymentu losowego i zjawiska losowego zostały podane w rozdziale poświęconym prawdopodobieństwu. Krótko podsumowując: eksperyment losowy to na przykład rzut kostką, zbiór wszystkich możliwych wyników zawiera te wyniki, które mogą wystąpić, tj. w przypadku rzutu kostką jest to zbiór $\omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$, zjawisko jest podzbiorem $\omega$ i może być "nieparzystą liczbą wyrzuconą na kostce", tj. A = {1, 3, 5}.

Jeśli mamy zjawisko A, pozostające z "nieparzystą liczbą wyrzuconą na kostce", tj. A = {1, 3, 5}, zjawiskiem komplementarnym jest $A' = \omega \setminus A$. Podobnie jak wszystkie inne zjawiska; te, które są w $\omega$, ale nie w A. W naszym przypadku, gdy mamy zjawisko "nieparzystej liczby wyrzuconej na kostce", zjawiskiem komplementarnym byłaby "parzysta liczba wyrzucona na kostce". Zjawiskiem komplementarnym do zjawiska "wyrzucono liczbę 2 lub 5" jest zjawisko "wyrzucono liczbę 1, 3, 4 lub 6".

Trzymając się terminologii zbiorów, jeśli $\omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ i mamy zjawisko A = {1, 2} ("wypada liczba mniejsza niż trzy"), to $A' = \omega \setminus A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} \setminus {1, 2} = {3, 4, 5, 6}$. Werbalnie moglibyśmy opisać to jako "wypada liczba większa niż dwa".

W przypadku prawdopodobieństwa zdarzenia uzupełniającego obowiązuje prosta zależność: jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 25%, to jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A'? W istocie pytamy - jakie jest prawdopodobieństwo, że zjawisko A nie wystąpi? Zjawisko A występuje z prawdopodobieństwem 25%, więc zjawisko A nie występuje z prawdopodobieństwem 100 − 25 = 75 %. Jest to zawsze prawda, więc możemy powiedzieć, że zjawisko komplementarne A' występuje z prawdopodobieństwem 1 − P(A):

$$ P(A') = 1 - P(A) $$

Rozwiązane przykłady

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy rzucie dwiema kostkami nie wypadną dwie szóstki? W rozdziale o prawdopodobieństwie obliczyliśmy, że istnieje łącznie 36 różnych możliwości, które mogą wystąpić podczas rzutu dwiema kostkami. Teraz powinniśmy obliczyć, ile z tych możliwości nie zawiera dwóch szóstek. Możemy pójść w drugą stronę: policzymy, ile par zawiera dwie szóstki, obliczymy prawdopodobieństwo ich wystąpienia, a następnie odejmiemy je od jedności.

   Jest tylko jedna para, która zawiera dwie szóstki, [6, 6], więc prawdopodobieństwo tego zjawiska A wynosi:

   $$ P(A) = \frac{1}{36} $$

   Prawdopodobieństwo komplementarnego zjawiska A', tj. zjawiska "dwie szóstki nie wypadają" wynosi:

   $$ P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36} = 97{,}2222… \% $$

2. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia trzech oczek i otrzymania co najmniej jednej szóstki? Ponownie, możemy rozwiązać ten problem bezpośrednio i wymienić wszystkie warianty, w których wyrzucimy jedną szóstkę, dwie szóstki i trzy szóstki. Możemy jednak pójść od lasu i obliczyć zjawisko komplementarne, czyli zjawisko "nie wypadła nawet jedna szóstka". Najpierw obliczmy, ile jest wszystkich możliwości, które możemy wyrzucić. Mamy trzy kości, na każdej z których mogą wypaść liczby od 1 do 6, co daje w sumie 6³ = 216 możliwości.

   Teraz musimy policzyć możliwości, w których nie ma nawet jednej szóstki. Każda kość musi mieć liczbę od 1 do 5, więc istnieje łącznie 5³ = 125 możliwości, które nie zawierają cyfry 6. Teraz wystarczy podstawić to do wzoru:

   $$ P(A) = \frac{125}{216}=57{,}87 \% $$

   To było zjawisko A - "ani jednej szóstki". Chcemy poznać zjawisko uzupełniające: "wypadła co najmniej jedna szóstka". Podłączymy to do wzoru:

   $$ P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} = 42{,}1296 \% $$

3. Uczeń losuje 3 pytania z 30 oferowanych na egzaminie z matematyki. Jest 10 pytań z algebry, 15 z analizy i 5 z geometrii. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosuje co najmniej dwa pytania z tego samego przedmiotu? Ponownie, łatwiej będzie rozwiązać ten problem wykorzystując dodatkowe zjawisko: jakie jest prawdopodobieństwo, że uczeń wybierze tylko jedno pytanie z każdego przedmiotu?

   Najpierw obliczymy, ile różnych trójek może wyciągnąć uczeń. W tym celu będziemy potrzebować kombinacji. Mamy w sumie 30 pytań i wybieramy 3 z nich, ale kolejność nie ma znaczenia. To daje nam liczbę kombinacji

   $$ {30 \choose 3} = 4060 $$

   Następnie, ile jest różnych możliwości, w których uczeń wybiera tylko jedno pytanie z każdej dziedziny? Korzystając z reguły iloczynu kombinatorycznego, stwierdzamy, że suma wynosi 10 · 15 · 5 = 750. Na koniec podstawiamy do wzoru, aby obliczyć prawdopodobieństwo:

   $$ P(A) = \frac{750}{4060}=18{,}47 \% $$

   Ale chcemy znać efekt uzupełniający, więc po prostu odejmujemy wynik od jednego:

   $$ P(A') = 1 - \frac{750}{4060} = \frac{3310}{4060} = 81{,}53 \% $$