Prawdopodobieństwo warunkowe

Obliczając prawdopodobieństwo, możemy dodać dodatkowy warunek do losowego eksperymentu. Klasyczny problem z prawdopodobieństwem warunkowym może wyglądać następująco: rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli na jednej z kości wypadnie trójka, to suma oczek będzie równa siedem?

Wyprowadzenie wzoru

Rozważmy pewien losowy eksperyment (np. rzut kostką) i dwa różne zjawiska A i B takie, że P(B) ≠ 0, tj. zjawisko B nie jest niemożliwe. Wtedy możemy mówić o prawdopodobieństwie warunkowym, jeśli zapytamy, jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia zjawiska A, jeśli wystąpi zjawisko B? Oznaczamy przez P(A|B).

Postaramy się stopniowo dojść do wzoru na obliczenie prawdopodobieństwa warunkowego. Dla uproszczenia wyobraźmy sobie kość czworościenną, czyli taką, na której mogą wypaść tylko cyfry 1, 2, 3 lub 4. Spróbujmy rozwiązać problem: jeśli rzucimy dwiema czworościennymi kośćmi, jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wartości jest równa sześć, jeśli jedna z kości wyrzuci liczbę mniejszą niż trzy?

Zacznijmy od wypisania wszystkich możliwości dla dwóch czworościennych kości. Jest ich w sumie 4 · 4 = 16.

$$\begin{eqnarray} &&[1, 1], [1, 2], [1, 3], [1, 4], \\ &&[2, 1], [2, 2], [2, 3], [2, 4], \\ &&[3, 1], [3, 2], [3, 3], [3, 4], \\ &&[4, 1], [4, 2], [4, 3], [4, 4] \end{eqnarray}$$

Jak wyglądają zjawiska A i B? Zjawisko A to "suma wartości na kostkach jest równa sześć", a zjawisko B to "na jednej z kostek wyrzucono liczbę mniejszą niż trzy". Interesuje nas prawdopodobieństwo warunkowe zjawiska P(A|B) - jakie jest prawdopodobieństwo, że zjawisko A wystąpi, jeśli wiemy, że zjawisko B wystąpiło. Najpierw odfiltrowujemy z poprzedniej tabeli tylko te pary, które są również zjawiskiem B, tj. co najmniej jedna liczba w parze jest mniejsza niż trzy. Otrzymujemy:

$$\begin{eqnarray} &B=&[1, 1], [1, 2], [1, 3], [1, 4], \\ &&[2, 1], [2, 2], [2, 3], [2, 4], \\ &&[3, 1], [3, 2], \\ &&[4, 1], [4, 2] \end{eqnarray}$$

Możemy w zasadzie postrzegać to jako zbiór wszystkich możliwych wyników. W rzeczywistości możemy uzyskać dwie czwórki na kostce, ale przez dodatkowy warunek B mówimy, że nie interesuje nas taki wynik - interesują nas tylko wyniki, w których co najmniej jedna kostka ma liczbę mniejszą niż trzy.

I teraz pytamy - teraz po prostu pytamy, jakie jest prawdopodobieństwo, że zjawisko A wystąpi, jeśli zbiór wszystkich zjawisk jest równy zbiorowi B? Prawdopodobieństwo warunkowe nie mówi nic więcej. Więc w tym zbiorze B znajdujemy te pary, które dają sumę sześciu:

$$ [2, 4], [4, 2] $$

Jak obliczylibyśmy teraz prawdopodobieństwo? Mamy w sumie 2 korzystne wyniki, a zbiór wszystkich wyników jest równy rozmiarowi zbioru B, czyli 12. Zatem prawdopodobieństwo warunkowe jest równe

$$ P(A|B)=\frac{2}{12}=\frac16 $$

Teraz chodzi o to, jak uogólnić. Powiedzieliśmy, że możemy postrzegać zbiór B jako zbiór wszystkich możliwych rozwiązań. Jak wyglądałby zbiór wszystkich korzystnych wyników? Byłby to zbiór tych wyników, które są w A (to jest zjawisko, które nas interesuje), ale są również w B (to jest warunek, który nas ogranicza). Innymi słowy, istnieje jeszcze jeden sposób, w jaki dwie czworościenne kostki mogą zsumować się do 6: jeśli na obu wypadnie 3. Ale to nie spełniłoby warunku B: w naszym przypadku co najmniej jedna liczba jest mniejsza niż trzy. Dlatego nie uwzględniamy tego wyniku w korzystnych rozwiązaniach. Zbiór korzystnych rozwiązań jest zatem równy: A ∩ B, przecięciu dwóch zjawisk. Składając to razem, otrzymujemy wzór:

$$ P(A|B) = \frac{|A \cap B|}{|B|}. $$

Ze wzoru widzimy, dlaczego założyliśmy, że P(B) ≠ 0; gdyby ten warunek nie był spełniony, dzielilibyśmy przez zero, co mogłoby spowodować powstanie czarnej dziury.

Poprzednie wzory są poprawne, jeśli mówimy o klasycznej definicji prawdopodobieństwa, w której wszystkie zjawiska elementarne mają takie samo prawdopodobieństwo wystąpienia. Możemy przepisać ten wzór w bardziej ogólnej formie:

$$ P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}. $$

Rozwiązane przykłady

1. Rzucamy dwiema kostkami, czarną i białą. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia czwórki na białej kości, jeśli suma obu wartości jest równa siedem? Rozłóżmy to na czynniki pierwsze: zjawisko A: "na białej kości wypadła czwórka", zjawisko B (warunek): "suma jest równa siedem". Zjawisko B zawiera wszystkie pary wartości, które sumują się do 7, tj. B = {[1, 6], [2, 5], [3, 4], [4, 3], [5, 2], [6, 1]}. Teraz obliczamy A ∩ B, tj. które pary z B są również w A, tj. że na białej kości wypadła czwórka? Załóżmy, że wartości mają postać [černá, bílá], więc jedyną parą należącą do A ∩ B jest [3, 4]. Teraz wystarczy podstawić do wzoru:

$$ P(A|B) = \frac{|A \cap B|}{|B|}=\frac16. $$